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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle - Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 5.Problemas Propostos - Ex. 38

Determinar o ângulo formado pela reta

r : {[[y = - 2 x],[z = 2 x + 1]])

E o plano pi : x - y + 5 = 0 .

Passo 1

Em questões de ângulos entre plano e reta, temos que tomar o seno entre um vetor na reta (vec v) com o vetor normal ao plano (vec n) . Assim, temos

s e n (theta) = (|vec v * vec n|)/(|vec v| * |vec n|)

Passo 2

Para acharmos as coordenadas da normal, vamos analisar a equação do plano.

pi : x - y + 5 = 0

Como os escalares que multiplicam x , y e z são, respectivamente, 1 , - 1 e 0, as coordenadas da normal vec n são vec n = ( 1 , - 1 , 0 ) .

Para achar as coordenadas do e um vetor diretor da reta, vamos analisar a equação da reta e ver qual é a variável que está associada às outras variáveis. Nesse caso, é a variável x .

Vamos agora analisar a equação {[[y = - 2 x],[z = 2 x + 1]]) . Assim, as outras coordenadas, y e z serão os escalares que multiplicam o x . Usamos esse mecanismo quando a equação da reta aparece na forma reduzida.

Como o coeficiente na equação de y é - 2 e o da equação de z é 2 , o vetor vec v é dado como

vec v = ( 1 , - 2 , - 2 )

Passo 3

Por fim, vamos aplicar essas coordenadas na equação s e n (theta) = (|vec v * vec n|)/(|vec v| * |vec n|) .

s e n (theta) = (|vec v * vec n|)/(|vec v| * |vec n|)

s e n (theta) = (|( 1 , - 2 , - 2 ) * (1 , - 1 , 0)|)/(|( 1 , - 2 , - 2 )| * |(1 , - 1 , 0)|)

s e n (theta) = (|1 + 2 - 0|)/(sqrt(1^2 + (- 2)^2 + ( - 2 )^2) * sqrt(1^2 + (- 1)^2 + 0^2))

s e n (theta) = (3)/(sqrt(9) * sqrt(2))

s e n (theta) = (3)/(3 * sqrt(2))

s e n (theta) = (1)/(sqrt(2))

s e n (theta) = (sqrt(2))/(2)

s e n (theta) = (sqrt(2))/(2) -> theta = 45 °

Assim, encerramos a questão.

Resposta

theta = 45 °

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