Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 4.2 - Ex. 11
Ache as equações dos planos que são perpendiculares ao vetor (2, 2, 2) e que distam do ponto (1, 1, 1).
Passo 1
Bom, para que o plano seja perpendicular ao vetor (2, 2, 2), o vetor normal desse plano deve ser paralelo a esse vetor. Podemos, então, assumir que o vetor normal do plano é
Dessa forma, temos uma equação do plano tal que:
Passo 2
Com base na equação encontrada, podemos buscar valores de d que fazem com que a distância entre o plano e o vetor (1, 1, 1) seja igual a distância pedida no problema. Para isso, vamos utilizar o vetor
,
Com base na equação da reta e do vetor unitário dado.
Passo 3
Resolvendo por partes:
E a norma de N:
Substituindo na fórmula anterior:
Como nos foi dado na questão que queremos que a distância seja igual a , vamos igualar o resultado obtido na fórmula e :
Resolvendo a equação com módulo:
Resposta
Os planos que satisfazem as condições dadas são