Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 4.2 - Ex. 11

Ache as equações dos planos que são perpendiculares ao vetor (2, 2, 2) e que distam do ponto (1, 1, 1).

Passo 1

Bom, para que o plano seja perpendicular ao vetor (2, 2, 2), o vetor normal desse plano deve ser paralelo a esse vetor. Podemos, então, assumir que o vetor normal do plano é

Dessa forma, temos uma equação do plano tal que:

Passo 2

Com base na equação encontrada, podemos buscar valores de d que fazem com que a distância entre o plano e o vetor (1, 1, 1) seja igual a distância pedida no problema. Para isso, vamos utilizar o vetor

Com base na equação da reta e do vetor unitário dado.

Passo 3

Resolvendo por partes:

E a norma de N:

Substituindo na fórmula anterior:

Como nos foi dado na questão que queremos que a distância seja igual a , vamos igualar o resultado obtido na fórmula e :

Resolvendo a equação com módulo:

Resposta

Os planos que satisfazem as condições dadas são

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Verifique que a reta r: (x, y, z) = (1, 0, 1) + t(1, -1, 0) é paralela ao plano π = x + y + z = 0

Seja r 1 a reta que passa pelos pontos A = (1, 0, 0) e B = (0, 2, 0) e r 2 a reta: x - 2 = y - 3 2 = z - 4 3 b) Calcule a distância entre r 1 e r 2 .

Ache todas as retas que passam pelo ponto (1, -2, 3) e que formam ângulos 45° e 60° com os eixos x e y respectivamente.

b) Determine a equação do plano π 2 que passa por D = (-1, 4, -1), E = (3/2, -1, 10) e é paralelo ao eixo z.

Seja π 1 o plano que passa pelos pontos A = (1, 1, 1), B = (1, 0, 1), C = (1, 1, 0) e π 2 o plano que passa pelos pontos P = (0, 0, 1) e Q = (0, 0, 0) e é paralelo ao vetor i → + j → . Ache o ângulo e