Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 4.2 - Ex. 5
Obtenha os vértices B e C do triângulo equilátero ABC, sendo A = (1, 1, 0) e sabendo que o lado BC está contido na reta r: (x, y, z) = t(0, 1, -1).
Passo 1
Dado que temos um triângulo equilátero, sabemos que os ângulos entre seus lados são todos iguais a 60°.
A partir da equação da reta, podemos inferir que nela estão contidos pontos de coordenadas . O vetor que liga o vértice A a um ponto qualquer contido na reta e, consequentemente, contido no lado BC do triângulo é:
Também pela equação da reta, sabemos que seu vetor diretor é V = (0, 1, -1). Dessa forma, a partir de todas essas informações, podemos calcular o produto:
Passo 2
Substituindo na fórmula:
Passo 3
Manipulando algebricamente a fórmula, chegamos em:
Elevando ambos os lados da igualdade:
Realizando a conta da equação do segundo grau, obtemos dois valores de t:
t = 0
t = 1
Substituindo na equação da reta os valores de t encontrados, podemos achar os pontos B e C, visto que estes estão incluídos na reta r:
0(0, 1, -1) = (0, 0, 0)
1(0, 1, -1) = (0, 1, -1)
Resposta
Os pontos B e C têm coordenadas (0, 0, 0) e (0, 1, -1).