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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 3.6 - Ex. 6

Determinar uma base e a dimensão do sub-espaço de M 3 R constituído das matrizes anti-simétricas.

Passo 1

Beleuza galerinha bonita, uma matriz anti-simétrica é aquela que a transposta é igual a sua oposta, ou seja

A T = - A

Suponha que A = a b c d e f g h i

a d g b e h c f i = - a - b - c - d - e - f - g - h - i ⇒ - a = a = 0 - e = e = 0 - i = i = 0   ,   d = - b g = - c h = - f

Então as únicas matrizes que satisfazem essa relação é

A = 0 b c - b 0 f - c - f 0

Passo 2

Show de bolinhas, agora que a gente já tem a matriz anti-simétrica de M 3 R , vamo separa as coordenadas por matrizes

0 b c - b 0 f - c - f 0 = 0 b 0 - b 0 0 0 0 0 + 0 0 c 0 0 0 - c 0 0 + 0 0 0 0 0 f 0 - f 0

0 b c - b 0 d - c - d 0 = b 0 1 0 - 1 0 0 0 0 0 + c 0 0 1 0 0 0 - 1 0 0 + f 0 0 0 0 0 1 0 - 1 0

Portanto uma base para o espaço das matrizes anti-simétricas é dada por

M 3 R = 0 1 0 - 1 0 0 0 0 0 ,   0 0 1 0 0 0 - 1 0 0 ,   0 0 0 0 0 1 0 - 1 0  

Resposta

M 3 R = 0 1 0 - 1 0 0 0 0 0 ,   0 0 1 0 0 0 - 1 0 0 ,   0 0 0 0 0 1 0 - 1 0  

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Determinar uma base de R 4 que contenha os seguintes vetores 1 ,1 ,1 ,0 ,1 ,1 ,2 ,1 .
Sendo W o sub-espaço do exercício 1 e U o sub-espaço do R 4 gerado por 1 ,2 ,1 ,3 e ( 3 ,1 ,- 1 ,4 ) , determinar uma base e a dimensão de U + W e de U ∩ W .
Sendo W e U sub-espaços do R 4 de dimensão 3, que dimensões pode ter W + U se 1 ,2 ,1 ,0 ,- 1 ,1 ,0 ,1 ,( 1 ,5 ,2 ,1 ) é um sistema de geradores de W ∩ U ?
No espaço vetorial R 3 consideremos os seguintes sub-espaços: U = x ,y ,z x = 0 , V = x ,y ,z y - 2 z = 0e W = 1 ,1 ,0 ,0 ,0 ,2 . Determinar uma base e a dimensão de cada um dos seguintes sub-espaços: