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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 3.6 - Ex. 5

No espaço vetorial R 3 consideremos os seguintes sub-espaços:

U = x ,   y ,   z x = 0 ,     V = x ,   y ,   z y - 2 z = 0   e

W = 1 ,   1 ,   0 ,   0 ,   0 ,   2 .

Determinar uma base e a dimensão de cada um dos seguintes sub-espaços: U ,   V ,   W ,   U ∩ V ,   V + W e U + V + W .

Passo 1

Show de buelas galeris, já temos a base de W , então vamos primeiro encontrar as bases de U e V . Para U temos que x ,   y ,   z x = 0 , então podemos escrever x ,   y ,   z como

x ,   y ,   z = 0 ,   y ,   z = 0 ,   1 ,   0 y + 0 ,   0 ,   1 z

Logo a base de U é 0 ,   1 ,   0 ,   0 ,   0 ,   1 . E para V temos que x ,   y ,   z y - 2 z = 0 , então

y - 2 z = 0 ⇒ y = 2 z

x ,   y ,   z = x ,   2 z ,   z = 1 ,   0 ,   0 x + 0 ,   2 ,   1 z

E portanto a base de V é 1 ,   0 ,   0 ,   0 ,   2 ,   1 .

Passo 2

Agora para calcularmos a interseção entre U e V , U ∩ V , podemos montar uma matriz com os vetores da base de cada espaço e escalonar pra ver quais são L.D.

U = 0 ,   1 ,   0 ,   0 ,   0 ,   1

V = 1 ,   0 ,   0 ,   0 ,   2 ,   1

1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 2 1 ⇒       L 4 = L 4 - 2 L 2 - L 3 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0

Então o vetor que é L.D nesse caso é o que está na linha 4, ( 0 ,   2 ,   1 ) . Logo U ∩ V = 0 ,   2 ,   1 .

Passo 3

E para V + W , temos que

V = 1 ,   0 ,   0 ,   0 ,   2 ,   1

W = 1 ,   1 ,   0 ,   0 ,   0 ,   2

V + W = 1 ,   0 ,   0 ,   0 ,   2 ,   1 1 ,   1 ,   0 ,   0 ,   0 ,   2

1 0 0 0 2 1 1 1 0 0 0 2 ⇒     L 3 = L 3 - L 1 - 1 2 L 2   = 1 0 0 0 2 1 0 0 - 1 2 0 0 2 ⇒       L 4 = L 4 + 4 L 3 = 1 0 0 0 2 1 0 0 - 1 2 0 0 0

Logo temos 3   vetores linearmente independentes que são a base de V + W , 1 ,   0 ,   0 ,   0 ,   2 ,   1 ,   1 ,   1 ,   0 , como temos 3 vetores em R 3 , nosso conjunto gera todo o espaço, V + W = R 3 .

Passo 4

E finalmente para U + V + W , como já sabemos que V + W = R 3 , estamos somando U à R 3 , U + R 3 , como U já pertence à R 3 ele não vai alterar a base e nem a dimensão do nosso espaço, logo U + V + W = R 3 .

Resposta

U = 0 ,   1 ,   0 ,   0 ,   0 ,   1 ,     dim ⁡ U = 2

V = 1 ,   0 ,   0 ,   0 ,   2 ,   1 ,     dim ⁡ V = 2

W = 1 ,   1 ,   0 ,   0 ,   0 ,   2 ,     dim ⁡ W = 2  

U ∩ V = 0 ,   2 ,   1 ,     dim ⁡ U ∩ V = 1  

V + W = R 3

U + V + W = R 3

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