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Exercícios de Soma da Dimensão de Subespaços - Lista de Exercícios Resolvida

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Questão 1

Sendo

H = x , y , z ∈ R 3 x + y - z = 0 }

S = x , y , z ∈ R 3 t 1,1 , 0 , ∀ t ∈ R }

Verifique que H ⊕ S = R 3 .

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Questão 2

Sabendo que

H = x , y , z , w ∈ R 4   t 1,0 , 1,0 + s 1,1 , 1,1 , ∀ t , s ∈ R }

S = x , y , z , w ∈ R 4   r 0,1 , 0,1 , ∀ r ∈ R }

Sem fazer muitas contas, qual d i m ⁡ ( H ∩ S ) ?

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Questão 3

Sendo:

H = A ∈ M 2 × 2 a 11 = 2 a 22 }

S = B ∈ M 2 × 2 a 12 = 0 }

Calcule uma base para H ∩ S , d i m ⁡ ( H ∩ S ) e d i m ⁡ ( H + S ) .

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Questão 4

Seja γ   ∈ R . Considere os vetores u =   1 1 γ 0 ,   v = γ 1 1 0 ,   w = 1 γ 1 0   ∈ M 2 R . O subespaço vetorial gerado por u,v,e w tem dimensão 3, se e somente se:

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Questão 5

Seja V = M 2 X 2 o espaço vetorial das matrizes 2 x 2 com produto interno canônico. Considere os subespaços vetoriais.

W 1 =   x y z t   ∈ V : y - z = 0 e W 2 =   1 0 2 - 1 ,   1 0 1 0 .

b) W 1 + W 2 é soma direta? Justifique.

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Questão 6

Andrezinho respondeu à questão “Prove que, para todo subespaço vetorial H ⊂ R n , tem-se que H ⊕ H ⊥ = R n " da seguinte maneira:

a   Sejam V e W dois subespaços vetoriais de E . Defina " V + W   " .

b   Defina “a soma dos subespaços vetoriais V e W é direta”.

c   Andrezinho escreveu apenas uma demonstração parcial. O que falta na demonstração dele?

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Questão 7

Considere os subespaços W 1 e W 2 do espaço vetorial M 2 × 2 R , cujas bases são:

β W 1 = 1 0 - 1 1 , - 1 1 1 - 1

β W 2 = 2 - 1 0 1 , 1 - 1 3 - 1

a Determine uma base para o subespaço soma W 1 + W 2 . Esta é uma soma direta?

b Determine uma base para o subespaço W 1 ∩ W 2 .

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Questão 8

Considere os seguintes subespaços U e W do espaço vetorial M 2 × 2 R :

U = x y z t ∈   M 2 × 2 R ; x + y + t = 0   e   y + z = 0 e

W = 1 1 2 1 , 0 1 2 2

  1. Determine uma base para o subespaço U .
  2. O vetor 3 1 - 2 - 1 pertence a W ?
  3. Determine uma base para o subespaço interseção U ∩ W
  4. Determine uma base para o subespaço soma U + W

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Questão 9

Considere os seguintes subespaços W 1 e W 2 do espaço vetorial P 2 ( R ) :

W 1 = [ 1 + x + x 2 ,   1 + 2 x + 2 x 2 ] e W 2 = [ x - x 2 ,   1 + x + 2 x 2 ]

a) Determine uma base para o subespaço interseção W 1 ∩ W 2 .

b) Determine uma base para o subespaço soma W 1 + W 2 .

c) Qual é a dim ⁡ ( W 1 + W 2 ) ? W 1 + W 2 é soma direta?

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Questão 10

Assinale a alternativa VERDADEIRA:

a   A dimensão do espaço das matrizes simétricas 2 × 2 é 4 .

b   As matrizes 1 0 1 0 , 0 0 1 0 , 0 1 0 1 , 0 1 1 0 formam uma base para o espaço as matrizes 2 × 2 .

c   Se V e W são subespaços vetoriais de R 5 de dimensão 3 então o único vetor em comum é o vetor 0,0 , 0,0 , 0 .

d   Se os vetores v 1 → , v 2 → , v 3 → são linearmente dependentes então os vetores w 1 → = v 1 → + v 2 → , w 2 → = v 1 → + v 3 → , w 3 → = v 2 → + v 3 → são linearmente independentes.

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Questão 11

Considere os subespaços de M 2 ( R ) definidos por

S 1 = { A ∈ M 2 R   :   A t = A   e   t r A = 0 }

E

S 2 = 0 2 1 3 , 2 - 1 1 - 1

Em que A t denota a transposta de matriz A e t r ( A ) denota a soma das entradas na diagonal principal da matriz A . Temos que a dimensão de S 1 + S 2 é igual a:

Escolha uma opção:

  1. 2
  2. 3
  3. 1
  4. 4
  5. 0

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Questão 12

O valor de λ para que o subespaço de M 2 ( R ) gerado por

1 3 4 0 , 1 - 1 2 3 , 2 4 5 1 , 1 + λ - 2 λ 3 λ - 2

Tenha dimensão igual a 3 é:

Escolha uma opção:

  1. 26 / 11
  2. - 10 / 27
  3. 43 / 9
  4. 19 / 12
  5. - 5 / 12
  6. - 17 / 29

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Questão 13

Considere o espaço vetorial R 4 e o subespaço V 1 = 0 , 2,0 , 1 , 1,0 , 0,1 , 0 , - 1,1 , 0 , 2 , - 3,1 , 1 .

a Detemine uma base para V 1 .

b Encontre um subespaço V 2 tal que tenhamos a soma direta V 1 ⨁ V 2 = R 4 .

c Seja V 3 = 1 , 1,1 , - 1 , 1 , - 1 , - 1,3 . Determine uma base para V 1 ∩ V 3 . E calcule a dim ⁡ V 1 + V 3 .

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Questão 14

Seja V um espaço vetorial de dimensão finita e sejam W 1 e W 2 subespaços de V . Está correto afirmar que:

Escolha uma opção:

  1. dim ⁡ W 1 + dim ⁡ W 2 = dim ⁡ W 1 + W 2 - dim ⁡ ( W 1 ∩ W 2 )
  2. Se { v 1 ,   … ,   v r } é uma base de W 1 e { u 1 ,   … ,   u q } é uma base de W 2 , então { v 1 ,   … ,   v r ,   u 1 ,   … ,   u q } é uma base de W 1 + W 2 .
  3. Se { v 1 ,   … ,   v r } é uma base de W 1 e w ∈ W 2 , mas w ∉ W 1 , então { v 1 ,   … ,   v r ,   w } é linearmente independente.
  4. W 1 ∪ W 2 é um subespaço de V .
  5. dim 2 ⁡ W 1 ∩ W 2 > dim ⁡ W 1 + dim ⁡ W 2 .

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Questão 15

Seja V um espaço vetorial de dimensão n . Considere as seguintes afirmações:

I Dados dois subespaços de V , a soma de suas dimensões não pode ser maior que n .

I I Existem conjuntos linearmente dependentes e geradores de V com n vetores.

Qual das opções abaixo é CORRETA?

( a ) A afirmativa I é falsa e I I é falsa.

( b ) A afirmativa I é falsa e I I é verdadeira.

( c ) A afirmativa I é verdadeira e I I é falsa.

( d ) A afirmativa I é verdadeira e I I é verdadeira.

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Questão 16

Seja W ⊆ M 2 × 2 R o subespaço vetorial W = a b c d :   a + b + 2 c - d = 0 .

a) Encontre uma base β w para W .

b) Encontre uma base β M 2 × 2 para M 2 × 2 R que contenha β w .

c) Mostre que A = a b c d :   a + b + 2 c - d = 1 é um subespaço afim de M 2 × 2 R e indique o subespaço vetorial ao qual A é paralelo.

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Questão 17

Em R 4 , seja W 1 = g e r [ v 1 ,   v 2 ] , onde v 1 = ( 2 ,   - 2 ,   1 ,   0 ) e v 2 = ( 2 ,   - 1 ,   - 1 ,   1 ) e seja W 2 o subespaço vetorial dado pelo conjunto solução do seguinte sistema linear homogêneo:

- x 1 + x 2 + x 3 = 0 x 2 - x 4 = 0

a) Encontre um sistema linear homogêneo nas variáveis x 1 ,   x 2 ,   x 3 ,   x 4 que tenha W 1 como conjunto solução. Justifique.

b) Mostre que R 4 = W 1 ⊕ W 2 . Justifique.

c) Dado v = ( 1 ,   0 ,   0 ,   0 ) , encontre w 1 ∈ W 1 e w 2 ∈ W 2 tais que v = w 1 + w 2 .

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Questão 18

Considere o espaço vetorial P 3 formado pelos polinômios na variável t com grau no máximo 3 .

c Julgue verdadeira ou falsa a seguinte afirmação: Quaisquer que sejam os subespaços vetoriais W 1 , W 2 de P 3 satisfazendo dim ⁡ W 1 = dim ⁡ W 2 = 3 , podemos afirmar que a interseção W 1 ∩ W 2 certamente conterá dois polinômios linearmente independentes.

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Questão 19

Seja W um espaço vetorial de dimensão 4 e sejam U e V subespaços de W tais que U ∩ V = 0 . Assinale a afirmativa VERDADEIRA:

( a ) U e V devem ambos ter dimensão estritamente menor que 4

( b ) U e V podem ambos ter dimensão 3

( c ) U e V devem ambos ter dimensão 2

( d ) U e V podem ambos ter dimensão 2

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Listas de Exercícios Resolvidos

Lista de Introdução às EDO'sLista de Subespaços VetoriaisLista de ElipsesLista de Parábolas Lista de Ângulos entre RetasLista de Combinação LinearLista de Posições Relativas de RetasLista de Reflexão OrtogonalLista de Expressão Analítica de uma TLLista de Complemento Ortogonal e Soma Direta

Principais Conceitos de Álgebra Linear e Geometria Analítica

Equação da Esfera