Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 3.6 - Ex. 9

Mostrar que as matrizes:

[[[1,1],[0,0]]] , [[[2,1],[0,0]]] , [[[0,1],[1,0]]] e [[[0,0],[0,2]]]

Forma uma base de M_2 ( R ) .

Passo 1

Beleza então galera, suponha que a matriz geral de M_2 ( R ) seja

A = [[[a,b],[c,d]]]

Como a gente é malandreiro bora transformar essa matriz, pasmem, em um vetor. Vem cá comigo que eu te conto. Como temos 4 coordenadas, a , b , c e d , vamos montar um vetor de 4 coordenadas, ou seja

A = [[[a,b],[c,d]]] = ( a , b , c , d )

Então quer dizer que se minha matriz 2 xx 2 pode ser representada também por um vetor de R^4 , e eu preciso de 4 vetores L.I para ter uma base de R^4 então para o espaço M_2 ( R ) eu vou precisar de 4 matrizes, ou melhor, 4 vetores L.I, para gerar esse espaço. Então bora passar essas matriz pra forma de um vetor, e verificar se eles são L.I.

Passo 2

O conjunto de matrizes que temos é

[[[1,1],[0,0]]] , [[[2,1],[0,0]]] , [[[0,1],[1,0]]] e [[[0,0],[0,2]]]

Logo

[[[1,1],[0,0]]] = ( 1 , 1 , 0 , 0 )

[[[2,1],[0,0]]] = ( 2 , 1 , 0 , 0 )

[[[0,1],[1,0]]] = ( 0 , 1 , 1 , 0 )

[[[0,0],[0,2]]] = ( 0 , 0 , 0 , 2 )

Passo 3

E agora colocando esses vetores na forma de uma matriz e escalonando temos que

[[[1,1,0,0],[2,1,0,0],[0,1,1,0],[0,0,0,2]]] => [[L_1,=,L_1,-,L_2],[],[],[]] = [[[-,1,0,0,0],[2,1,0,0],[0,1,1,0],[0,0,0,2]]]

E voilá, temos uma matriz triangular superior, isso quer dizer que todas as suas linhas são L.I, o que faz com que todas as matrizes representadas por esses vetores, também sejam L.I, logo o conjunto {[[[1,1],[0,0]]] , [[[2,1],[0,0]]] , [[[0,1],[1,0]]] , [[[0,0],[0,2]]]} é uma base de M_2 ( R ) .

Resposta

Demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

No espaço vetorial R 3 consideremos os seguintes sub-espaços: U = x ,y ,z x = 0 , V = x ,y ,z y - 2 z = 0e W = 1 ,1 ,0 ,0 ,0 ,2 . Determinar uma base e a dimensão de cada um dos seguintes sub-espaços:
Suponha que { u 1 , … ,u n } é uma base de um espaço vetorial. Mostrar que { u 1 ,u 1 + u 2 , … ,u 1 + u 2 + … + u n } também é uma base desse espaço.
Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensões m e n , respectivamente. Considere o espaço vetorial U × V cuja adição é dada por u 1 , v 1 + u 2 , v 2 = u 1 + u 2 , v 1 + v 2 E a multiplicação por
Seja p n o subespaço dos polinômios de grau menor ou igual a n .a) Mostre que existe um subespaço w 2 de p , tal quep = p n ⊕ w 2 .b) Seja w 3 um subespaço de p n . Seja { p 0 , … , p k } uma base de
Seja X um conjunto infinito. Para cada a ∈ X , seja f a : X → R a função tal que f a a = 1 e f a x = 0 , se x ≠ a . Mostre que o conjunto G c f ( X ; R ) formado por estas funções e linearmente indepe