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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 3.6 - Ex. 2

Sendo W e U sub-espaços do R 4 de dimensão 3, que dimensões pode ter W + U se 1 ,   2 ,   1 ,   0 ,   - 1 ,   1 ,   0 ,   1 ,   ( 1 ,   5 ,   2 ,   1 ) é um sistema de geradores de W ∩ U ?

Passo 1

Show de bola galeris, sabemos que de acordo com a Proposição 5, os espaços W + U e W ∩ U estão relacionados através da equação

dim ⁡ W ∩ U + dim ⁡ W + U = dim ⁡ U + dim ⁡ W

E a malandragem aqui é que já temos a dimensão de W e U , dim ⁡ W = dim ⁡ U = 3 ,   então só precisamos descobrir a dimensão de W ∩ U , pra isso vamos encontrar a base desse espaço e ver quantos vetores temos nela.

Passo 2

Temos que 1 ,   2 ,   1 ,   0 ,   - 1 ,   1 ,   0 ,   1 ,   ( 1 ,   5 ,   2 ,   1 ) gera W ∩ V , mas para esse conjunto ser uma base, além dele gerar o espaço, os vetores também precisam ser linearmente independentes, então bora verificar isso ai

1 ,   2 ,   1 ,   0 ,   - 1 ,   1 ,   0 ,   1 ,   1 ,   5 ,   2 ,   1 = 1 2 1 0 - 1 1 0 1 1 5 2 1

1 2 1 0 - 1 1 0 1 1 5 2 1 ⇒   L 2 = L 2 + L 1 L 3 = L 3 - L 1 = 1 2 1 0 0 3 1 1 0 3 1 1 ⇒     L 3 = L 3 - L 2 = 1 2 1 0 0 3 1 1 0 0 0 0

Então , isso quer dizer que só temos 2 vetores linearmente independentes no conjunto 1 ,   2 ,   1 ,   0 ,   - 1 ,   1 ,   0 ,   1 ,   ( 1 ,   5 ,   2 ,   1 ) , isto é, a base de W ∩ U é dada por 1 ,   2 ,   1 ,   0 ,   - 1 ,   1 ,   0 ,   1 , e com isso dim ⁡ W ∩ U = 2 .

Passo 3

Então de acordo com nossa proposição

dim ⁡ W ∩ U + dim ⁡ W + U = dim ⁡ U + dim ⁡ W

2 + dim ⁡ W + U = 3 + 3

dim ⁡ W + U = 4

Resposta

dim ⁡ W + U = 4

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Considere p seguinte sub-espaço vetorial de C 3 : W = 1 ,0 ,i ,1 ,1 + i ,1 - i ,1 ,- 1 - i ,- 1 + 3 i Determinar uma base desse sub-espaço.
Determinar a dimensão dos seguintes subespaços de M n ( R ) :Subespaço da matrizes simétricas;Subespaço das matrizes antissimétricas.Subespaço das matrizes A tais que A = 2 A t .Subespaço das matrizes
Achar uma base e a dimensão do seguinte sub-espaço de R 4 : U = x ,y ,z ,t x - y = 0ex + 2 y + t = 0 .
Para que valores de a ∈ R o seguinte conjunto é uma base de R 3 : B = { a ,1 ,0 ,1 ,a ,1 ,0 ,1 ,a }
Sejam w 1ew 2 subespaços de dimensão finita. Seja V = w 1 + w 2 . Mostre que V e soma direta de w 1ew 2 se, e somente se, dim ⁡ V = dim ⁡ ( w 1 ) + dim ⁡ ( w 2 ) .