Sendo W e U sub-espaços do R 4 de dimensão 3, que dimensões pode ter W + U se 1 ,   2 ,   1 ,   0 ,   - 1 ,   1 ,   0 ,   1 ,   ( 1 ,   5 ,   2 ,   1 ) é um sistema de geradores de W ∩ U ?

Passo 1

Show de bola galeris, sabemos que de acordo com a Proposição 5, os espaços W + U e W ∩ U estão relacionados através da equação

dim ⁡ W ∩ U + dim ⁡ W + U = dim ⁡ U + dim ⁡ W

E a malandragem aqui é que já temos a dimensão de W e U , dim ⁡ W = dim ⁡ U = 3 ,   então só precisamos descobrir a dimensão de W ∩ U , pra isso vamos encontrar a base desse espaço e ver quantos vetores temos nela.

Passo 2

Temos que 1 ,   2 ,   1 ,   0 ,   - 1 ,   1 ,   0 ,   1 ,   ( 1 ,   5 ,   2 ,   1 ) gera W ∩ V , mas para esse conjunto ser uma base, além dele gerar o espaço, os vetores também precisam ser linearmente independentes, então bora verificar isso ai

1 ,   2 ,   1 ,   0 ,   - 1 ,   1 ,   0 ,   1 ,   1 ,   5 ,   2 ,   1 = 1 2 1 0 - 1 1 0 1 1 5 2 1

1 2 1 0 - 1 1 0 1 1 5 2 1 ⇒   L 2 = L 2 + L 1 L 3 = L 3 - L 1 = 1 2 1 0 0 3 1 1 0 3 1 1 ⇒     L 3 = L 3 - L 2 = 1 2 1 0 0 3 1 1 0 0 0 0

Então , isso quer dizer que só temos 2 vetores linearmente independentes no conjunto 1 ,   2 ,   1 ,   0 ,   - 1 ,   1 ,   0 ,   1 ,   ( 1 ,   5 ,   2 ,   1 ) , isto é, a base de W ∩ U é dada por 1 ,   2 ,   1 ,   0 ,   - 1 ,   1 ,   0 ,   1 , e com isso dim ⁡ W ∩ U = 2 .

Passo 3

Então de acordo com nossa proposição

dim ⁡ W ∩ U + dim ⁡ W + U = dim ⁡ U + dim ⁡ W

2 + dim ⁡ W + U = 3 + 3

dim ⁡ W + U = 4

Resposta

dim ⁡ W + U = 4

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