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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 3.6 - Ex. 3

Sendo W o sub-espaço do exercício 1 e U o sub-espaço do R 4 gerado por 1 ,   2 ,   1 ,   3 e ( 3 ,   1 ,   - 1 ,   4 ) , determinar uma base e a dimensão de U + W e de U ∩ W .

Passo 1

Iradoso galerinha, sabemos que a base de W é 2 ,   1 ,   0 ,   1 ,   0 ,   0 ,   1 ,   0 e pra descobrirmos a soma desse espaço W com o espaço U , precisamos somar os vetores da base dos dois e descobrir quais são linearmente independentes.

Passo 2

Temos que W = 2 ,   1 ,   0 ,   1 ,   0 ,   0 ,   1 ,   0 e U = 1 ,   2 ,   1 ,   3 ,   3 ,   1 ,   - 1 ,   4 , logo

U + W = 2 ,   1 ,   0 ,   1 ,   0 ,   0 ,   1 ,   0 , 1 ,   2 ,   1 ,   3 ,   3 ,   1 ,   - 1 ,   4  

E passando pra forma matricial e escalonando

2 ,   1 ,   0 ,   1 ,   0 ,   0 ,   1 ,   0 , 1 ,   2 ,   1 ,   3 ,   3 ,   1 ,   - 1 ,   4 = 2 1 0 1 0 0 1 0 1 2 1 3 3 1 - 1 4

2 1 0 1 0 0 1 0 1 2 1 3 3 1 - 1 4 ⇒     L 3 = L 3 - L 1 2 L 4 = L 4 - 3 L 1 2 = 2 1 0 1 0 0 1 0 0 3 2 1 5 2 0 - 1 2 - 1 5 2 ⇒

      L 4 = L 4 + L 3 3 = 2 1 0 1 0 0 1 0 0 3 2 1 5 2 0 0 - 2 3 10 3 ⇒       L 4 = L 4 + 2 3 L 2 = 2 1 0 1 0 0 1 0 0 3 2 1 5 2 0 0 0 10 3

Logo nós temos 4 vetores linearmente independentes e isso quer dizer que a base de U + W é 2 ,   1 ,   0 ,   1 ,   0 ,   0 ,   1 ,   0 , 1 ,   2 ,   1 ,   3 ,   3 ,   1 ,   - 1 ,   4 e dim ⁡ U + W = 4  

Passo 3

E para descobrirmos sobre U ∩ W , podemos usar a proposição 5, e de acordo com ela

dim ⁡ U ∩ W + dim ⁡ U + W = dim ⁡ U + dim ⁡ W

dim ⁡ U ∩ W + 4 = 2 + 2

dim ⁡ U ∩ W = 0

Portanto U ∩ W = { 0 }

Resposta

U + W = 2 ,   1 ,   0 ,   1 ,   0 ,   0 ,   1 ,   0 , 1 ,   2 ,   1 ,   3 ,   3 ,   1 ,   - 1 ,   4 ,     dim ⁡ U + W = 4

U ∩ W = 0 ,     dim ⁡ U ∩ W = 0

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