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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 3.8 - Ex. 4

Determinar as coordenadas do polinômio t 3 em relação à seguinte base de P 3 R : 1,2 - t , t 2 + 1,1 + t + t 3

Passo 1

Determinar as coordenadas de um vetor (que neste caso é um polinômio) em relação a uma base B qualquer é descobrir as coordenadas dos coeficientes de combinação linear deste vetor em relação a base B .

Confuso? Então, vamos fazer o seguinte. Queremos escrever t 3 como uma combinação linear dos polinômios 1 , 2 - t , t 2 + 1 e 1 + t + t 3 . Então, temos que escrever a seguinte relação:

t 3 = a 1 1 + a 2 2 - t + a 3 t 2 + 1 + a 4 1 + t + t 3

O que queremos descobrir são estes coeficientes a 1 , a 2 , a 3 e a 4 . Eles são as coordenadas do nosso polinômio t 3 .

Passo 2

Agora, nosso trabalho é desenvolver a equação que escrevemos no Passo 1. Depois, vamos comparar as relações do primeiro membro com o do segundo, obter um sistema de equação e resolve-lo.

Então, vamos começar desenvolvendo!

t 3 = a 1 1 + a 2 2 - t + a 3 t 2 + 1 + a 4 1 + t + t 3

t 3 = a 1 + 2 a 2 - a 2 t + a 3 t 2 + a 3 + a 4 + a + a 4 t + a 4 t 3

t 3 = a 4 t 3 + a 3 t 2 + a 4 - a 2 t + a 1 + 2 a 2 + a 3 + a 4

Agora vamos comparar os termos do primeiro membro com o do segundo membro. Então, vamos comparar tudo que multiplica t 3 , tudo que multiplica t 2 , t e todos os termos sem t . Assim, temos o seguinte sistema de equação:

a 1 + 2 a 2 + a 3 + a 4 = 0 a 4 - a 2 = 0 a 3 = 0 a 4 = 1

Cuja solução é a 1 = - 3 , a 2 = 1 , a 3 = 0 e a 4 = 1 . Portanto, as coordenadas do nosso polinômio é t 3 = - 3 , 1 , 0,1 .

Resposta

t 3 = - 3 , 1 , 0,1

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