A matriz de mudança de uma base B do R 2 para a base 1,1 , 0,2 desse mesmo espaço é:

1 0 2 3

Determinar a base B .

Passo 1

Bom, queremos determinar os vetores u e v da base B = u , v . Este é o nosso objetivo.

Mas, para isto, alguma informação tem que ser dada, não é? E, como era esperado, nos foi dado uma base C = 1,1 , 0,2 e a matriz de mudança da base B para a C :

P = 1 0 2 3

Para resolvermos esta questão, é fundamental que a gente entenda como se monta a matriz de mudança de base!

Passo 2

Vamos relembrar o procedimento de como se monta essa matriz de mudança de base. Para isto, vamos ter que fazer o seguinte: vamos escrever o primeiro vetor da base C como combinação linear dos vetores da base B . Assim, teremos:

1,1 = a 11 u + a 21 v

Os coeficientes da combinação linear, para o primeiro vetor de C , são os elementos da primeira coluna da matriz P . Se a gente repete o procedimento para o segundo vetor de C , temos os elementos da segunda coluna de P . Portanto,

0,2 = a 12 u + a 22 v

E assim chegamos as relações que temos que resolver!

Passo 3

Mas como faremos para resolver? A gente vai ter que fazer um artifício. Vamos dizer que o vetor u tem coordenadas u = a , b e o vetor v tem coordenadas v = c , d .

Substituindo estes termos nas nossas equações e substituindo os valores a i j relativos a nossa matriz de mudança de base P , temos:

1,1 = 1 a , b + 2 c , d 0,2 = 0 a , b + 3 c , d ⟹ 1,1 = a + 2 c , b + 2 d 0,2 = 3 c , 3 d

Se compararmos coordenada a coordenada, podemos expandir no seguinte sistema de 4 equações:

a + 2 c = 1 b + 2 d = 1 3 c = 0 3 d = 2

Com isto, chegamos a solução c = 0 , d = 2 / 3 , a = 1 e b = - 1 / 3 . Portanto, os vetores que buscamos são:

u = 1 , - 1 3

v = 0 , 2 3

E a nossa base é B = 1 , - 1 3 , 0 , 2 3 .

Resposta

B = 1 , - 1 3 , 0 , 2 3

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