Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 3.8 - Ex. 5
A matriz de mudança de uma base do para a base desse mesmo espaço é:
Determinar a base .
Passo 1
Bom, queremos determinar os vetores e da base . Este é o nosso objetivo.
Mas, para isto, alguma informação tem que ser dada, não é? E, como era esperado, nos foi dado uma base e a matriz de mudança da base para a :
Para resolvermos esta questão, é fundamental que a gente entenda como se monta a matriz de mudança de base!
Passo 2
Vamos relembrar o procedimento de como se monta essa matriz de mudança de base. Para isto, vamos ter que fazer o seguinte: vamos escrever o primeiro vetor da base como combinação linear dos vetores da base . Assim, teremos:
Os coeficientes da combinação linear, para o primeiro vetor de , são os elementos da primeira coluna da matriz . Se a gente repete o procedimento para o segundo vetor de , temos os elementos da segunda coluna de . Portanto,
E assim chegamos as relações que temos que resolver!
Passo 3
Mas como faremos para resolver? A gente vai ter que fazer um artifício. Vamos dizer que o vetor tem coordenadas e o vetor tem coordenadas .
Substituindo estes termos nas nossas equações e substituindo os valores relativos a nossa matriz de mudança de base , temos:
Se compararmos coordenada a coordenada, podemos expandir no seguinte sistema de 4 equações:
Com isto, chegamos a solução , , e . Portanto, os vetores que buscamos são:
E a nossa base é .