Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 3.8 - Ex. 7
Considerar as bases e de assim relacionadas:
- Determinar as matrizes de mudança de para e de para .
- Se um vetor de apresenta coordenadas 1, 2 e 3, em relação a , quais as coordenadas de relativamente a ?
Passo 1
Vamos começar resolvendo a letra a). Nela, precisamos determinar as matrizes de mudança de base de para e de para . Com esta informação, vamos calcular a letra b) bem fácil, basta fazermos uma multiplicação de matrizes.
Mas, vamos ao que interessa. Vamos começar determinando a matriz de mudança de para
Para isto, vamos ter que fazer o seguinte: vamos escrever o primeiro vetor da base como combinação linear dos vetores da base . Assim, teremos:
Só que, no enunciado da questão, vimos que . Então, se compararmos as incógnitas da nossa matriz, temos e .
Agora, temos que repetir o mesmo procedimento para os outros dois vetores da base . Eles serão:
Percebam que no sistema acima já escrevemos os vetores e como combinação linear dos vetores de e comparamos com as informações dadas no enunciado da questão.
Continuando, ao resolvermos o sistema, vamos obter: , , , , e . Portanto, a matriz de mudança de para é:
Passo 2
Para finalizarmos a letra a), temos que obter a matriz de mudança de para . Para isto, temos duas opções: fazer o mesmo procedimento que fizemos anteriormente, escrevendo os vetores de como combinação linear dos vetores de , ou, simplesmente, invertendo a matriz .
E é este último o que vamos fazer. Vamos inverter a matriz . E para isto, qualquer procedimento é válido! Portanto,
A ideia é transformar a matriz da esquerda na matriz identidade, enquanto a da direita será a nossa inversa. Vamos começar subtraindo a terceira linha da segunda e depois somar a segunda com a primeira. Portanto,
Agora, vamos subtrair a segunda linha de 2 vezes a terceira. Portanto,
Agora, vamos subtrair a terceira linha da segunda e a primeira linha de 3 vezes a segunda, nesta ordem. Portanto,
Trocando a terceira linha com a segunda,
Então, a matriz de mudança de para que buscamos é:
Passo 3
Para finalizarmos a questão, temos que descobrir as coordenadas do vetor na base . Para isto, basta lembrarmos da seguinte relação:
Sendo a matriz coluna das coordenadas de na base e as coordenadas de na base . Então, temos:
Então, as coordenadas de na base são , e .
Resposta
- A matriz de mudança de para é:
- As coordenadas de na base são , e .
Já a matriz de mudança de para é: