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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 3.6 - Ex. 15

Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensões m e n , respectivamente. Considere o espaço vetorial U × V cuja adição é dada por

u 1 , v 1 + u 2 , v 2 = u 1 + u 2 , v 1 + v 2

E a multiplicação por escalares por α u , v = α u , α v .

Admitindo que u 1 , … , u m e v 1 , … , v n são bases de U e de V , respectivamente, prove que:

u 1 , 0 , … , u m , 0 , 0 , v 1 , … , 0 , v n

É uma base de U × V

Passo 1

Vamos lá! Queremos provar que u 1 , 0 , … , u m , 0 , 0 , v 1 , … , 0 , v n é uma base para o espaço U × V . Para isto, temos que verificar duas coisas: se a lista é LI e se a sua dimensão é a mesma do espaço U × V .

Vamos começar então checando que a lista de vetores é LI. Para que isto ocorra, nós temos que escrever o vetor nulo como combinação linear dos vetores da lista. Portanto,

a 1 u 1 , 0 + … + a m u m , 0 + a m + 1 0 , v 1 + a m + n 0 , v n = 0 = 0,0

Para que a lista seja LI, todos estes coeficientes a i devem ser iguais a zero.

Passo 2

E agora? Como iremos provar que todos os coeficientes a i devem ser iguais a zero?

Por enquanto, vamos só desenvolver a nossa relação. Isto é, vamos aplicar as propriedades de soma e multiplicação de um vetor por um escalar do nosso espaço U × V . Com isto, teremos:

a 1 u 1 , 0 + … + a m u m , 0 + 0 , a m + 1 v 1 + 0 , a m + n v n = 0,0

a 1 u 1 + … + a m u m , a m + 1 v 1 + … + a m + n v n = 0,0

Assim, conseguimos a seguinte relação:

a 1 u 1 + … + a m u m = 0 a m + 1 v 1 + … + a m + n v n = 0

Calma. Estas duas equações estão nos lembrando algo. Escrevemos o vetor nulo como combinação linear da lista u 1 , … , u m (primeira equação) e da lista v 1 , … , v n (segunda equação). Não é exatamente isto o que fazemos para checar se as listas são LI? E o enunciado não nos diz que ambas as listas são LI?

Eita! É exatamente isto! Como as listas u 1 , … , u m e v 1 , … , v n são LI, então, os coeficientes a 1 , … , a m e a m + 1 , … , a m + n são iguais a zero! E assim, também temos que a lista u 1 , 0 , … , u m , 0 , 0 , v 1 , … , 0 , v n é LI.

Passo 3

Agora que comprovamos que a lista u 1 , 0 , … , u m , 0 , 0 , v 1 , … , 0 , v n é LI, nos resta verificar a sua dimensão.

Este procedimento é bem simples. Como nós temos m vetores u i , 0 e n vetores 0 , v n , então a nossa lista tem dimensão m + n .

E esta é exatamente a dimensão do espaço U × V , pois

dim ⁡ U × V = dim ⁡ U + dim ⁡ V = m + n

Portanto, como a lista LI tem a mesma dimensão do espaço, podemos afirmar que a lista é uma base de U × V !

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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