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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 3.8 - Ex. 6

A matriz de mudança de uma base 1 + t , 1 - t 2 para uma base C ambas do mesmo sub-espaço de P 2 R é:

1 2 1 - 1

Determinar a base C .

Passo 1

Bom, queremos determinar os vetores u e v da base C = u , v . Este é o nosso objetivo.

Mas, para isto, alguma informação tem que ser dada, não é? E, como era esperado, nos foi dado uma base B = 1 + t , 1 - t 2 e a matriz de mudança da base B para a C :

P = 1 2 1 - 1

Para resolvermos esta questão, é fundamental que a gente entenda como se monta a matriz de mudança de base!

Passo 2

Vamos relembrar o procedimento de como se monta essa matriz de mudança de base. Para isto, vamos ter que fazer o seguinte: vamos escrever o primeiro vetor da base C como combinação linear dos vetores da base B . Assim, teremos:

u = a 11 1 + t + a 21 1 - t 2

Os coeficientes da combinação linear, para o primeiro vetor de C , são os elementos da primeira coluna da matriz P . Se a gente repete o procedimento para o segundo vetor de C , temos os elementos da segunda coluna de P . Portanto,

v = a 12 1 + t + a 22 1 - t 2

E assim chegamos as relações que temos que resolver!

Passo 3

Agora é a parte da moleza. Tem nem muito a ser resolvido. Vamos substituir os elementos a i j da nossa matriz P nas equações que obtivemos no Passo 2. Começando pelo vetor u , temos:

u = 1 1 + t + 1 1 - t 2

u = 1 + t + 1 - t 2 = 2 + t - t 2

Já para o vetor v , temos:

v = 2 1 + t - 1 1 - t 2

v = 2 + 2 t - 1 + t 2 = 1 + 2 t + t 2

Portanto, a base que buscamos é C = 2 + t - t 2 , 1 + 2 t + t 2 .

Resposta

C = 2 + t - t 2 , 1 + 2 t + t 2

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