Considere o seguinte sub-espaço vetorial de :

1. Mostrar que os seguintes subconjuntos de são bases de .
2. Achar a matriz de mudança de para e a de para .
3. Achar uma base de , de tal maneira que a matriz de mudan;a de para seja?

E agora, o que temos que fazer em relação ao conjunto ? Vamos começar relembrando tanto ele quanto o conjunto . Desta forma,

Comparando os dois, vemos que ambos tem matrizes semelhantes. A “exceção” é a matriz do conjunto .

E agora? Bom, para confirmarmos que é base de , vamos ter que verificar se pertence a base . Isto é, vamos verificar se é possível escrever a matriz como combinação linear das matrizes de . Portanto,

Resolvendo o sistema acima, chegamos a solução , e . Portanto, a matriz realmente pode ser escrita como combinação da base .

E como as outras matrizes de também pertencem a , acabamos de verificar que o conjunto também é uma base de .

Agora vamos partir para a letra b). Temos que encontrar uma matriz de mudança de base de para e depois de para .

Então, vamos começar determinando a matriz de mudança de para

Para isto, vamos ter que fazer o seguinte: vamos escrever o primeiro vetor da base como combinação linear dos vetores da base . Assim, teremos:

Comparando coordenada a coordenada, obtemos a seguinte solução: , e .

Agora, vamos repetir o mesmo procedimento para os outros vetores de . Para o segundo, temos:

Cuja solução é , e . Por fim, para o terceiro vetor de , temos:

Cuja solução é e . Então, a matriz de mudança de para é:

Agora temos que obter a matriz de mudança de para . Para isto, temos duas opções: fazer o mesmo procedimento que fizemos anteriormente, escrevendo os vetores de como combinação linear dos vetores de , ou, simplesmente, invertendo a matriz .

E é este último o que vamos fazer. Vamos inverter a matriz . E para isto, qualquer procedimento é válido! Portanto,

A ideia é transformar a matriz da esquerda na matriz identidade, enquanto a da direita será a nossa inversa. Vamos começar somando a segunda linha com a primeira linha. Portanto,

Agora, vamos multiplicar a primeira linha por . Portanto,

Por fim, só nos resta reorganizar a primeira matriz. Para isto, vamos trocar a primeira linha com a segunda. Logo,

Então, a matriz de mudança de para que buscamos é:

Por fim, queremos determinar os vetores , e da base . Para cada um destes vetores, vamos associar a uma matriz genérica, Portanto, sejam eles:

Continuando, para conseguirmos a base , alguma informação tem que ser dada, não é? E, como era esperado, nos foi dado a matriz de mudança de base para a :

Para resolvermos esta questão, é fundamental que a gente entenda como se monta a matriz de mudança de base! Então, vamos relembrar o procedimento de como se monta essa matriz de mudança de base.

Agora, vamos relembrar o procedimento de como se monta essa matriz de mudança de base à medida que resolvemos este nosso problema.

Para isto, vamos ter que fazer o seguinte: vamos escrever o primeiro vetor da base como combinação linear dos vetores da base . Assim, teremos:

Só que os coeficientes da combinação linear são os elementos da matriz . Então,

E assim chegamos à solução , , e , o que corresponde ao vetor (já resolvemos o primeiro). Sendo assim, vamos repetir o mesmo procedimento para os outros vetores de . Para o segundo, temos:

Cuja solução é , , e , todas as coordenadas do nosso vetor . Agora só nos resta encontrarmos o vetor . Para isto, vamos utilizar o último vetor de . Portanto,

Cuja solução é , , e .

Então, a base que estamos procurando é .