Enunciado

Determinar uma equação da hipérbole que satisfaça as condições dadas. Esboçar o gráfico.

Focos F 1 3 , - 2 e F 2 3,4 e excentricidade 2

Passo 1

Vamos lá, temos que a hipérbole possuem os seguintes elementos:

  • Dois focos, F 1 e F 2 , que possui uma distância focal de 2 c entre eles
  • Um centro C h , k que é o ponto médio do segmento dos focos F 1 F 2
  • Dois vértices, A 1 e A 2
  • O eixo real que é o segmento A 1 A 2 com comprimento 2 a
  • O eixo imaginário que é o segmento B 1 B 2 com comprimento 2 b

Aqui vemos que o real é paralelo ao eixo O y , pois os pontos tem o valor x constante igual a 3 , assim a equação vai ser da forma:

y - k 2 a 2 - x - h 2 b 2 = 1

Vamos então encontrar os valores a , b , k e h .

Passo 2

Pelas informações do enunciado temos os dois focos em F 1 3 , - 2 e F 2 3,4 , vamos ver esses pontos no gráfico:

Temos então que a distância entre os dois focos é igual a 2 c , então vamos achar c :

2 c = 4 - - 2 → 2 c = 4 + 2 → 2 c = 6 → c = 3

Agora que temos o valor de c podemos usar a informação do enunciado sobre a excentricidade, ela é calculada por:

e = c a

Vamos então encontrar o valor de a :

e = c a → 2 = 3 a → 2 a = 3 → a = 3 2

Precisamos agora encontrar b , e para isso podemos usar a seguinte expressão:

c 2 = a 2 + b 2

Vamos então substituir os valores:

c 2 = a 2 + b 2 → 3 2 = 3 2 2 + b 2 → 9 = 9 4 + b 2 → b 2 = 9 - 9 4 → b 2 = 36 - 9 4 →

→ b 2 = 27 4 → b = 27 4

Passo 3

Agora vamos encontrar o centro C h , k , ele é ponto médio do segmento dos focos F 1 F 2 , temos então que a coordenada y dele é:

4 + - 2 2 = 2 2 = 1

E a x é constante e igual à 3 , assim o centro é C 3,1 .

Vamos também encontrar os vértices para montar o gráfico, como a distância do centro aos vértices é de a = 3 2 , temos então que as coordenadas y deles são:

1 + 3 2 = 2 + 3 2 = 5 2

1 - 3 2 = 2 - 3 2 = - 1 2

E a x é constante e igual à 3 , assim os vértices são A 1 3 , 5 2 e A 2 3 , - 1 2 .

Passo 4

Pronto, vamos agora substituir os valores na equação da hipérbole, o centro C 3,1 , a = 3 2 e b = 27 4 :

y - k 2 a 2 - x - h 2 b 2 = 1 → y - 1 2 3 2 2 - x - 3 2 27 4 2 = 1 →

→ y 2 - 2 y + 1 9 4 - x 2 - 6 x + 9 27 4 = 1 → 4 y 2 - 8 y + 4 9 - 4 x 2 - 24 x + 36 27 = 1 →

→ 12 y 2 - 24 y + 12 - 4 x 2 - 24 x + 36 27 = 27 27 →

→ 12 y 2 - 24 y + 12 - 4 x 2 + 24 x - 36 27 = 27 27 → - 4 x 2 + 12 y 2 + 24 x - 24 y - 24 = 27 →

→ - 4 x 2 + 12 y 2 + 24 x - 24 y - 24 - 27 = 0 → - 4 x 2 + 12 y 2 + 24 x - 24 y - 51 = 0

Assim conseguimos então a equação da hipérbole que satisfaz as condições dadas, e ela é:

- 4 x 2 + 12 y 2 + 24 x - 24 y - 51 = 0

Passo 5

Agora vamos esboçar o gráfico usando a expressão da hipérbole que encontramos, - 4 x 2 + 12 y 2 + 24 x - 24 y - 51 = 0 :

Resposta

- 4 x 2 + 12 y 2 + 24 x - 24 y - 51 = 0

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