Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 8.Hipérbole - Ex. 31
Determinar uma equação da hipérbole que satisfaça as condições dadas. Esboçar o gráfico.
Focos e e excentricidade
Passo 1
Vamos lá, temos que a hipérbole possuem os seguintes elementos:
- Dois focos, e , que possui uma distância focal de entre eles
- Um centro que é o ponto médio do segmento dos focos
- Dois vértices, e
- O eixo real que é o segmento com comprimento
- O eixo imaginário que é o segmento com comprimento
Aqui vemos que o real é paralelo ao eixo , pois os pontos tem o valor constante igual a , assim a equação vai ser da forma:
Vamos então encontrar os valores , , e .
Passo 2
Pelas informações do enunciado temos os dois focos em e , vamos ver esses pontos no gráfico:
Temos então que a distância entre os dois focos é igual a , então vamos achar :
Agora que temos o valor de podemos usar a informação do enunciado sobre a excentricidade, ela é calculada por:
Vamos então encontrar o valor de :
Precisamos agora encontrar , e para isso podemos usar a seguinte expressão:
Vamos então substituir os valores:
Passo 3
Agora vamos encontrar o centro , ele é ponto médio do segmento dos focos , temos então que a coordenada dele é:
E a é constante e igual à , assim o centro é .
Vamos também encontrar os vértices para montar o gráfico, como a distância do centro aos vértices é de , temos então que as coordenadas deles são:
E a é constante e igual à , assim os vértices são e .
Passo 4
Pronto, vamos agora substituir os valores na equação da hipérbole, o centro , e :
Assim conseguimos então a equação da hipérbole que satisfaz as condições dadas, e ela é:
Passo 5
Agora vamos esboçar o gráfico usando a expressão da hipérbole que encontramos, :
