Enunciado

Determinar uma equação da hipérbole que satisfaça as condições dadas. Esboçar o gráfico.

focos F 0 , ± 4 , eixo real de medida 2

Passo 1

Vamos lá, temos que a hipérbole possuem os seguintes elementos:

  • Dois focos, F 1 e F 2 , que possui uma distância focal de 2 c entre eles
  • Um centro C h , k que é o ponto médio do segmento dos focos F 1 F 2
  • Dois vértices, A 1 e A 2
  • O eixo real que é o segmento A 1 A 2 com comprimento 2 a
  • O eixo imaginário que é o segmento B 1 B 2 com comprimento 2 b

Aqui vemos que como o vértice está no eixo O y o vértice está no eixo O y , assim temos que a equação da hipérbole é com eixo real sobre O y , assim vai ser da forma:

y - k 2 a 2 - x - h 2 b 2 = 1

Vamos então encontrar os valores a , b , h e k .

Passo 2

Pelas informações do enunciado temos que o centro é 0,0 e como o eixo real tem medida 2 temos que:

2 a = 2 → a = 1

E como os focos são F 0 , ± 4 o valor de c é c = 4 , para achar a equação da hipérbole precisamos encontrar b , e podemos usar a seguinte expressão:

c 2 = a 2 + b 2

Vamos então substituir os valores:

c 2 = a 2 + b 2 → 4 2 = 1 2 + b 2 → 16 = 1 + b 2 → b 2 = 15 → b = 15

Pronto, agora é só substituir na expressão e temos a equação da hipérbole:

y - k 2 a 2 - x - h 2 b 2 = 1 → y - 0 2 1 2 - x - 0 2 15 2 = 1 → y 2 1 - x 2 15 = 1 → 15 y 2 - x 2 15 = 15 15 →

→ - x 2 + 15 y 2 - 15 = 0

Passo 3

Vamos também encontrar os vértices para montar o gráfico, como a distância do centro aos vértices é o valor a = 1 vamos ter que as coordenadas de y são:

0 + 1 = 1

0 - 1 = - 1

E a x é constante e igual a 0 , assim os vértices são A 1 0 , 1 e A 2 0 , - 1 .

Passo 4

Agora vamos esboçar o gráfico usando a expressão da hipérbole que encontramos, - x 2 + 15 y 2 - 15 = 0 :

Resposta

- x 2 + 15 y 2 - 15 = 0

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