Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 8.Hipérbole - Ex. 23
Determinar uma equação da hipérbole que satisfaça as condições dadas. Esboçar o gráfico.
Vértices e passando por
Passo 1
Vamos lá, temos que a hipérbole possuem os seguintes elementos:
- Dois focos, e , que possui uma distância focal de entre eles
- Um centro que é o ponto médio do segmento dos focos
- Dois vértices, e
- O eixo real que é o segmento com comprimento
- O eixo imaginário que é o segmento com comprimento
Aqui vemos que como os focos estão no eixo o real também está sobre , assim a equação vai ser da forma:
Vamos então encontrar os valores , , e .
Passo 2
Pelas informações do enunciado temos que o centro é e como os vértices são temos então , o centro é e como passa por vamos então substituir os valores na equação da hipérbole para encontrar o valor de :
Pronto, vamos agora substituir os valores e temos a equação da hipérbole:
Passo 3
Vamos também encontrar os focos para montar o gráfico, como a distância do centro aos focos é o valor , vamos encontrar ele usando a expressão:
Vamos então substituir os valores:
Temos então que as coordenadas deles são:
E a é constante e igual a , assim os focos são e .
Passo 4
Agora vamos esboçar o gráfico usando a expressão da hipérbole que encontramos, :
