Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 8.Hipérbole - Ex. 25
Determinar uma equação da hipérbole que satisfaça as condições dadas. Esboçar o gráfico.
Vértices e equações das assíntotas
Passo 1
Vamos lá, temos que a hipérbole possuem os seguintes elementos:
- Dois focos, e , que possui uma distância focal de entre eles
- Um centro que é o ponto médio do segmento dos focos
- Dois vértices, e
- O eixo real que é o segmento com comprimento
- O eixo imaginário que é o segmento com comprimento
Aqui vemos que como o vértice está no eixo , assim temos que a equação da hipérbole é com eixo real sobre , assim vai ser da forma:
Vamos então encontrar os valores , , e .
Passo 2
Pelas informações do enunciado temos que como os vértices são temos então , o centro é e as equações das assíntotas são da forma:
Como a equação da hipérbole é da forma temos que e , assim temos:
Pronto, vamos agora substituir os valores e temos a equação da hipérbole:
Passo 3
Vamos também encontrar os focos para montar o gráfico, vamos achar , pois a distância do centro aos focos é de :
Temos então que as coordenadas dos focos são:
E a é constante e igual a , assim os focos são e .
Passo 4
Agora vamos esboçar o gráfico usando a expressão da hipérbole que encontramos, :
