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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 8.Hipérbole - Ex. 28

Determinar uma equação da hipérbole que satisfaça as condições dadas. Esboçar o gráfico.

Vértice em 3 , - 2 e 5 , - 2 e um foco em 7 , - 2

Passo 1

Vamos lá, temos que a hipérbole possuem os seguintes elementos:

  • Dois focos, F 1 e F 2 , que possui uma distância focal de 2 c entre eles
  • Um centro C h , k que é o ponto médio do segmento dos focos F 1 F 2
  • Dois vértices, A 1 e A 2
  • O eixo real que é o segmento A 1 A 2 com comprimento 2 a
  • O eixo imaginário que é o segmento B 1 B 2 com comprimento 2 b

Aqui vemos que o real é paralelo ao eixo O x , pois os pontos tem o valor y constante igual a - 2 , assim a equação vai ser da forma:

x - h 2 a 2 - y - k 2 b 2 = 1

Vamos então encontrar os valores a , b , k e h .

Passo 2

Pelas informações do enunciado temos que um foco é F 7 , - 2 e os dois vértices em 3 , - 2 e 5 , - 2 , vamos ver esses pontos no gráfico:

Temos então que a distância entre os dois vértices é igual a 2 a , então vamos achar a :

2 a = 5 - 3 → 2 a = 2 → a = 1

Além do centro C h , k ser o ponto médio do segmento dos focos F 1 F 2 ele também é o ponto médio dos segmentos dos vértices A 1 A 2 , assim temos:

h = 4

k = - 2

O centro é então C 4 , - 2 , e com essa informação podemos encontrar o valor de c , já que a distância do centro ao foco é igual a c :

c = 7 - 4 = 3

Passo 3

Vamos também encontrar o outro foco para montar o gráfico, como a distância do centro aos focos é de 3 , temos então que a coordenada x dele é:

4 - 3 = 1

E a y é constante e igual a - 2 , assim o outro foco é F 2 1 , - 2 .

Precisamos agora encontrar b , e para isso podemos usar a seguinte expressão:

c 2 = a 2 + b 2

Vamos então substituir os valores:

c 2 = a 2 + b 2 → 3 2 = 1 2 + b 2 → 9 = 1 + b 2 → b 2 = 8 → b = 8

Passo 4

Pronto, vamos agora substituir os valores na equação da hipérbole, o centro C 4 , - 2 , a = 1 e b = 8 :

x - h 2 a 2 - y - k 2 b 2 = 1 → x - 4 2 1 2 - y - - 2 2 8 2 = 1 → x 2 - 8 x + 16 1 - y + 2 2 8 = 1 →

→ x 2 - 8 x + 16 1 - y 2 + 4 y + 4 8 = 1 → 8 x 2 - 64 x + 128 - y 2 + 4 y + 4 8 = 8 8 →

→ 8 x 2 - 64 x + 128 - y 2 - 4 y - 4 8 = 8 8 → 8 x 2 - y 2 - 64 x - 4 y + 124 = 8 →

→ 8 x 2 - y 2 - 64 x - 4 y + 124 - 8 = 0 → 8 x 2 - y 2 - 64 x - 4 y + 116 = 0

Assim conseguimos então a equação da hipérbole que satisfaz as condições dadas, e ela é:

8 x 2 - y 2 - 64 x - 4 y + 116 = 0

Passo 5

Agora vamos esboçar o gráfico usando a expressão da hipérbole que encontramos, 8 x 2 - y 2 - 64 x - 4 y + 116 = 0 :

Resposta

8 x 2 - y 2 - 64 x - 4 y + 116 = 0

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