Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 7.5 - Ex. 11
Determinar a equação reduzida referida ao sistema e o gênero da cônica representada pela equação dada a seguir. Esboçar o gráfico.
Passo 1
Precisamos escrever a equação da cônica dada num sistema de coordenadas em que não aparece o termo misto . Para isso, consideremos a parte quadrática:
Ela pode ser escrita como
Vamos estudar a matriz
Num sistema de coordenadas em que for diagonal, o termo misto desaparecerá! Vamos procurar os autovalores de :
Assim,
Portanto, temos
Passo 2
Agora que temos os autovalores, vamos procurar os autovetores. Para :
Portanto,
Para que o vetor seja unitário, :
Já para :
Logo,
Com :
Passo 3
Assim, já temos que
Além disso,
Portanto,
Desta forma, a equação da cônica pode ser escrita como
Assim,
Trata-se de uma parábola, cujo gráfico é dado a seguir:
Resposta
Exercícios de Livros Relacionados
Efetuar uma rotação nos eixos coordenados a fim de eliminar o termo x y . Identificar a cônica e escrever sua equação no sistema x ' O y ' obtido após a rotação. Esboçar o gráfico. 2 x 2 + 2 6 x y + y
A equação representa uma cônica degenerada. Identificá-la e esboçar o gráfico, quando possível. x 2 + y 2 + 2 x y = 0
A equação representa uma cônica degenerada. Identificá-la e esboçar o gráfico, quando possível. x 2 + y 2 + 2 x y - 8 = 0
A equação representa uma cônica degenerada. Identificá-la e esboçar o gráfico, quando possível. x 2 + y 2 + 2 x y + 4 = 0
Efetuar uma rotação nos eixos coorenados a fim de eliminar o termo em x y . Identificar a cônica e escrever sua equação no sistema x ' O y ' obtido após a rotação. Esboçar o gráfico. 5 x 2 + 4 x y + 2