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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 7.5 - Ex. 11

Determinar a equação reduzida referida ao sistema X O ' Y e o gênero da cônica representada pela equação dada a seguir. Esboçar o gráfico.

x 2 + 2 3 x y + 3 y 2 - 4 x = 0

Passo 1

Precisamos escrever a equação da cônica dada num sistema de coordenadas em que não aparece o termo misto x y . Para isso, consideremos a parte quadrática:

x 2 + 2 3 x y + 3 y 2

Ela pode ser escrita como

x y ⋅ 1 3 3 3 ⋅ x y

Vamos estudar a matriz

A = 1 3 3 3

Num sistema de coordenadas ( X , Y ) em que A for diagonal, o termo misto desaparecerá! Vamos procurar os autovalores de A :

1 - λ 3 3 3 - λ = 0

Assim,

1 - λ 3 - λ - 3 = 0 ⇒ 3 - 4 λ + λ 2 - 3 = 0

Portanto, temos

λ 1 = 0         e           λ 2 = 4

Passo 2

Agora que temos os autovalores, vamos procurar os autovetores. Para λ 1 = 0 :

1 3 3 3 ⋅ a b = 0 0 ⇒ a + 3 b = 0 ⇒ a = - 3 b

Portanto,

u 1 = a , b = - 3 b , b = b - 3 ,   1

Para que o vetor seja unitário, b = 1 / 2 :

u 1 = - 3 2 , 1 2

Já para λ 2 = 4 :

- 3 3 3 - 1 ⋅ a b = 0 0 ⇒ 3 a - b = 0 ⇒ b = 3 a

Logo,

u 2 = a ,   3 a = a 1 ,   3

Com a = 1 / 2 :

u 2 = 1 2 , 3 2

Passo 3

Assim, já temos que

x y ⋅ 1 3 3 3 ⋅ x y = X Y ⋅ 0 0 0 4 ⋅ X Y = 4 Y 2

Além disso,

x y = - 3 2 1 2 1 2 3 2 ⋅ X Y

Portanto,

x = - 3 X 2 + Y 2         e         y = X 2 + 3 Y 2

Desta forma, a equação da cônica pode ser escrita como

4 Y 2 - 4 - 3 X 2 + Y 2 = 0

Assim,

4 Y 2 + 2 3 X - 2 Y = 0

Trata-se de uma parábola, cujo gráfico é dado a seguir:

Resposta

4 Y 2 + 2 3 X - 2 Y = 0

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Efetuar uma rotação nos eixos coordenados a fim de eliminar o termo x y . Identificar a cônica e escrever sua equação no sistema x ' O y ' obtido após a rotação. Esboçar o gráfico. 2 x 2 + 2 6 x y + y
A equação representa uma cônica degenerada. Identificá-la e esboçar o gráfico, quando possível. x 2 + y 2 + 2 x y = 0
A equação representa uma cônica degenerada. Identificá-la e esboçar o gráfico, quando possível. x 2 + y 2 + 2 x y - 8 = 0
A equação representa uma cônica degenerada. Identificá-la e esboçar o gráfico, quando possível. x 2 + y 2 + 2 x y + 4 = 0
Efetuar uma rotação nos eixos coorenados a fim de eliminar o termo em x y . Identificar a cônica e escrever sua equação no sistema x ' O y ' obtido após a rotação. Esboçar o gráfico. 5 x 2 + 4 x y + 2