Quais dos seguintes operadores são ortogonais?

T : R^3 -> R^3 , T (x , y , z) = (x , y cos theta + z s e n theta , - y s e n theta + z cos theta)

Passo 1

A questão pede para verificarmos se o operador dado é ortogonal ou não. Para isso, lembre-se que um operador é ortogonal se a inversa da sua transformação for igual a transposta. Portanto, o primeiro passo é achar a matriz de transformação.

Usando a base canônica:

T (1 , 0 , 0) = (1 , 0 , 0)

T (0 , 1 , 0) = (0 , cos theta , - s e n theta)

T (0 , 0 , 1) = ( 0 , s e n theta , cos theta )

Assim,

[T] = [[[1,0,0],[0,cos theta,s,e,n,,theta],[0,-,s,e,n,,theta,cos theta]]]

Passo 2

Note que essa transformação representa uma rotação em torno do eixo x , de modo que ela representa naturalmente uma transformação ortogonal por conservar a norma dos vetores!

Resposta

Sim

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