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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 7.5 - Ex. 10

Determinar a equação reduzida referida ao sistema X O ' Y e o gênero da cônica representada pela equação dada a seguir. Esboçar o gráfico.

x y + 4 2 x + 6 2 y + 30 = 0

Passo 1

Precisamos escrever a equação da cônica dada num sistema de coordenadas em que não aparece o termo misto x y . Para isso, consideremos a parte quadrática:

x y

Ela pode ser escrita como

x y ⋅ 0 1 1 0 ⋅ x y

Vamos estudar a matriz

A = 0 1 1 0

Num sistema de coordenadas ( X , Y ) em que A for diagonal, o termo misto desaparecerá! Vamos procurar os autovalores de A :

- λ 1 1 - λ = 0

Assim,

λ 2 - 1 = 0

Portanto, temos

λ 1 = - 1         e           λ 2 = 1

Passo 2

Agora que temos os autovalores, vamos procurar os autovetores. Para λ 1 = - 1 :

1 - 1 - 1 1 ⋅ a b = 0 0 ⇒ a - b = 0 ⇒ b = a

Portanto,

u 1 = a , b = a , a = a 1 ,   1

Para que o vetor seja unitário, a = 1 / 2 :

u 1 = 1 2 , 1 2

Já para λ 2 = 1 :

- 1 - 1 - 1 - 1 ⋅ a b = 0 0 ⇒ a + b = 0 ⇒ a = - b

Logo,

u 2 = - b ,   b = b - 1 ,   1

Com b = 1 / 2 :

u 2 = - 1 2 , 1 2

Passo 3

Assim, já temos que

x y ⋅ 0 1 1 0 ⋅ x y = X Y ⋅ - 1 0 0 1 ⋅ X Y = - X 2 + Y 2

Além disso,

x y = 1 2 - 1 2 1 2 1 2 ⋅ X Y

Portanto,

x = X 2 - Y 2         e         y = X 2 + Y 2

Desta forma, a equação da cônica pode ser escrita como

- X 2 + Y 2 + 4 2 X 2 - Y 2 + 6 2 X 2 + Y 2 + 30 = 0

Logo,

- X 2 + Y 2 + 10 X + 2 Y + 30 = 0

Agora vamos completar quadrados:

- X 2 + 10 X = - X 2 - 10 X + 25 - 25 = - X - 5 2 + 25

Y 2 + 2 Y = Y 2 + 2 Y + 1 - 1 = Y + 1 2 - 1

Desta forma, a equação pode ser reescrita como

- X - 5 2 + 25 + Y + 1 2 - 1 + 30 = 0 ⇒ - X - 5 2 + Y + 1 2 = - 54

Assim,

X - 5 2 - 54 - Y + 1 2 - 54 = 1

Trata-se de uma hipérbole, cujo gráfico é dado a seguir:

Resposta

X - 5 2 6 - Y + 1 2 6 = 1

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A equação representa uma cônica degenerada. Identificá-la e esboçar o gráfico, quando possível. 3 x 2 + 2 x y + 3 y 2 = 0
Efetuar uma rotação nos eixos coorenados a fim de eliminar o termo em x y . Identificar a cônica e escrever sua equação no sistema x ' O y ' obtido após a rotação. Esboçar o gráfico. 3 x 2 + 2 x y + 3
Efetuar uma rotação nos eixos coorenados a fim de eliminar o termo em x y . Identificar a cônica e escrever sua equação no sistema x ' O y ' obtido após a rotação. Esboçar o gráfico. 7 x 2 + 13 y 2 -
Efetuar uma rotação nos eixos coorenados a fim de eliminar o termo em x y . Identificar a cônica e escrever sua equação no sistema x ' O y ' obtido após a rotação. Esboçar o gráfico. x y = 2
Efetuar uma rotação nos eixos coorenados a fim de eliminar o termo em x y . Identificar a cônica e escrever sua equação no sistema x ' O y ' obtido após a rotação. Esboçar o gráfico. x 2 + y 2 + 4 x y