Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 7.5 - Ex. 23
Efetuar uma rotação nos eixos coorenados a fim de eliminar o termo em . Identificar a cônica e escrever sua equação no sistema obtido após a rotação. Esboçar o gráfico.
Passo 1
Vamos resolver essa pelo método dos invariantes. Vamos dar mais uma olhada em como se faz esse método. Vou repetir mais uma vez! É assim: a equação completa da cônica é:
Quando a gente fizer a rotação da cônica, o termo em vai sumir. A gente chama de invariantes porque tem algumas expressões que não mudam o valor, nem quando a gente roda a cônica. São eles:
Essas letras, , , e serão os coeficientes da equação da cônica, já desrotacionada. Repara no seguinte: , já que estamos com a cônica desrotacionada. Tem que saber também que esse da segunda equação é o ângulo de rotação da cônica, que a gente calcula como:
Se por acaso , a tangente vai tender ao infinito. Isso quer dizer que , e aí o ângulo de rotação . Beleza, já relembramos tudo, agora vamos resolver essa parada.
Passo 2
A equação da nossa cônica é:
Cuidado com esse termo trocado, não vai se confundir não! Comparando com a equação completa da cônica, a gente tem:
Vamos encontrar o ângulo de rotação:
Opa, essa tangente aí tá zoadona! Pode dividir por zero não, parça. Esse é o caso que eu falei lá em cima! Essa é a rotação que tem e iguais, então o ângulo de rotação é , e aí .
Passo 3
Show, já temos tudo que precisávamos! Vamos ver os invariantes.
Resolvendo o sistema das duas primeiras linhas, vamos encontrar e . Beleza, então já sabemos a equação da cônica no sistema !
Dividindo tudo por e passando o termo independente pro outro lado:
Essa equação representa uma hipérbole!
Passo 4
Fazendo o esboço delas:
