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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 7.5 - Ex. 8

Determinar a equação reduzida referida ao sistema X O ' Y e o gênero da cônica representada pela equação dada a seguir. Esboçar o gráfico.

16 x 2 - 24 x y + 9 y 2 - 15 x - 20 y + 50 = 0

Passo 1

Precisamos escrever a equação da cônica dada num sistema de coordenadas em que não aparece o termo misto x y . Para isso, consideremos a parte quadrática:

16 x 2 - 24 x y + 9 y 2

Ela pode ser escrita como

x y ⋅ 16 - 12 - 12 9 ⋅ x y

Vamos estudar a matriz

A = 16 - 12 - 12 9

Num sistema de coordenadas ( X , Y ) em que A for diagonal, o termo misto desaparecerá! Vamos procurar os autovalores de A :

16 - λ - 12 - 12 9 - λ = 0

Assim,

16 - λ 9 - λ - 144 = 0 ⇒ 144 - 25 λ + λ 2 - 144 = 0

Logo,

λ 2 - 25 λ = 0 ⇒ λ λ - 25 = 0

Portanto, temos

λ 1 = 0         e           λ 2 = 25

Passo 2

Agora que temos os autovalores, vamos procurar os autovetores. Para λ 1 = 0 :

16 - 12 - 12 9 ⋅ a b = 0 0 ⇒ 4 a - 3 b = 0 ⇒ b = 4 a 3

Portanto,

u 1 = a , b = a , 4 a 3 = a 1 , 4 3

Para que o vetor seja unitário, a = 3 5 :

u 1 = 3 5 ,   4 5

Já para λ 2 = 25 :

- 9 - 12 - 12 - 16 ⋅ a b = 0 0 ⇒ 3 a + 4 b = 0 ⇒ a = - 4 b 3

Logo,

u 2 = - 4 b 3 ,   b = b - 4 3 ,   1

Com b = 3 5 :

u 2 = - 4 5 , 3 5

Passo 3

Assim, já temos que

x y ⋅ 16 - 12 - 12 9 ⋅ x y = X Y ⋅ 0 0 0 25 ⋅ X Y = 25 Y 2

Além disso,

x y = 3 5 - 4 5 4 5 3 5 ⋅ X Y

Portanto,

x = 3 X 5 - 4 Y 5         e         y = 4 X 5 + 3 Y 5

Desta forma, a equação da cônica pode ser escrita como

25 Y 2 - 15 3 X 5 - 4 Y 5 - 20 4 X 5 + 3 Y 5 + 50 = 0

Logo,

25 Y 2 - 25 X + 50 = 0

Assim,

Y 2 - X + 50 = 0

Trata-se de uma parábola, cujo gráfico é dado a seguir:

Resposta

Y 2 - X + 50 = 0

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