Determinar uma equação das superfícies esféricas nas condições dadas.

  1. Centro C ( 4 , - 1 , - 2 ) e que passa pelo ponto P ( 2,3 , - 1 ) .

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Vamos resolver junto esse exercício? =D

Resgatando do livro texto, a equação de uma esfera de centro C ( h , k , l ) e raio r é:

x - h 2 + y - k 2 + z - l 2 = r 2

No nosso caso temos h = 4 , k = - 1 e l = - 2 . Mas não temos o valor do raio! Mas calma! Sabemos que o ponto P ( 2 , 3 , - 1 ) satisfaz a equação. Então aqui a ideia é a seguinte: substituir o ponto na equação geral, resolver para r e depois voltar para a equação geral e substituir o r encontrado.

Beleza até aqui?

Passo 2

Com o centro C ( 4 , - 1 , - 2 ) , a equação geral fica:

x - h 2 + y - k 2 + z - l 2 = r 2

x - 4 2 + y + 1 2 + z + 2 2 = r 2

E sabendo que o ponto P ( 2 , 3 , - 1 ) pertence à curva, então podemos substituir as coordenadas na equação:

2 - 4 2 + 3 + 1 2 + - 1 + 2 2 = r 2

E resolver para r :

r 2 = - 2 2 + 4 2 + 1 2 = 4 + 16 + 1

r 2 = 21

Passo 3

Pronto! Agora com o valor de r 2 podemos voltar à equação geral e completar ela:

x - 4 2 + y + 1 2 + z + 2 2 = r 2

x - 4 2 + y + 1 2 + z + 2 2 = 21

Mas ainda não terminamos! Pra termos a resposta na forma mais geral, precisamos abrir esses produtos notáveis, então vamos lá:

x 2 - 8 x + 16 + y 2 + 2 y + 1 + z 2 + 4 z + 4 - 21 = 0

E agora reorganizando os termos temos:

x 2 + y 2 + z 2 - 8 x + 2 y + 4 z = 0

Pronto! Conseguimos escrever a equação para essa superfície: x 2 + y 2 + z 2 - 8 x + 2 y + 4 z = 0 .

Espero ter ajudado!

Vamos pra próxima?

Resposta

x 2 + y 2 + z 2 - 8 x + 2 y + 4 z = 0

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