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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 9.Problemas propostos - Ex. 1b

Determinar uma equação das superfícies esféricas nas condições dadas.

  1. Centro C ( 4 , - 1 , - 2 ) e que passa pelo ponto P ( 2,3 , - 1 ) .

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Vamos resolver junto esse exercício? =D

Resgatando do livro texto, a equação de uma esfera de centro C ( h , k , l ) e raio r é:

x - h 2 + y - k 2 + z - l 2 = r 2

No nosso caso temos h = 4 , k = - 1 e l = - 2 . Mas não temos o valor do raio! Mas calma! Sabemos que o ponto P ( 2 , 3 , - 1 ) satisfaz a equação. Então aqui a ideia é a seguinte: substituir o ponto na equação geral, resolver para r e depois voltar para a equação geral e substituir o r encontrado.

Beleza até aqui?

Passo 2

Com o centro C ( 4 , - 1 , - 2 ) , a equação geral fica:

x - h 2 + y - k 2 + z - l 2 = r 2

x - 4 2 + y + 1 2 + z + 2 2 = r 2

E sabendo que o ponto P ( 2 , 3 , - 1 ) pertence à curva, então podemos substituir as coordenadas na equação:

2 - 4 2 + 3 + 1 2 + - 1 + 2 2 = r 2

E resolver para r :

r 2 = - 2 2 + 4 2 + 1 2 = 4 + 16 + 1

r 2 = 21

Passo 3

Pronto! Agora com o valor de r 2 podemos voltar à equação geral e completar ela:

x - 4 2 + y + 1 2 + z + 2 2 = r 2

x - 4 2 + y + 1 2 + z + 2 2 = 21

Mas ainda não terminamos! Pra termos a resposta na forma mais geral, precisamos abrir esses produtos notáveis, então vamos lá:

x 2 - 8 x + 16 + y 2 + 2 y + 1 + z 2 + 4 z + 4 - 21 = 0

E agora reorganizando os termos temos:

x 2 + y 2 + z 2 - 8 x + 2 y + 4 z = 0

Pronto! Conseguimos escrever a equação para essa superfície: x 2 + y 2 + z 2 - 8 x + 2 y + 4 z = 0 .

Espero ter ajudado!

Vamos pra próxima?

Resposta

x 2 + y 2 + z 2 - 8 x + 2 y + 4 z = 0

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Determine os planos tangentes à superfície esférica S : x - 1 2 + y 2 + z 2 = 6 que são perpendiculares à reta r : x - 1 2 = y = z - 1 .
Em cada caso, obtenha uma equação da superfície esférica tangente aos planos π 1 e π 2 , sabendo que T é um dos pontos de tangência. π 1 : x = 0π 2 : 3 x + y + z - 2 = 0T = 0,2 , - 1 π 1 : 6 x - 3 y -
Obtenha, em cada caso, uma equação do plano que contém a reta r e é tangente à superfície esférica S . Interprete os resultados. r : x + 6 2 = y + 3 = z + 1 S : x 2 + y 2 + z 2 - 4 x + 2 y - 4 z + 4 =
Obtenha uma equação geral da superfície esférica circunscrita ao tetraedro determinado pelos planos π 1 : y - z + 2 = 0 π 2 : x - 1 = 0 π 3 : x + z - 2 = 0 π 4 : y - 1 = 0
Obtenha, em cada caso, uma equação do plano que contém a reta r e é tangente à superfície esférica S . Interprete os resultados. r : x + 6 2 = y + 3 = z + 1 S : x 2 + y 2 + z 2 - 4 x + 2 y - 4 z + 4 =