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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 24.Exercício - Ex. 41b

Em cada caso, obtenha uma equação da superfície esférica tangente aos planos π 1 e π 2 , sabendo que T é um dos pontos de tangência.

  1. π 1 : x = 0                                           π 2 : 3 x + y + z - 2 = 0                                           T = 0,2 , - 1
  2. π 1 : 6 x - 3 y - 2 z - 35 = 0                             π 2 : 6 x - 3 y - 2 z + 63 = 0                         T = 5 , - 1 , - 1

Passo 1

Primeiro, percebam que o ponto T satisfaz a equação do plano π 1 . Portanto, este ponto pertence ao plano.

Então, sabemos que a esfera tangencia o plano e também sabemos qual o ponto de tangência! Vamos construir uma reta normal ao plano π 1 no ponto T . Portanto, seja o vetor normal ao plano n → = 6 , - 3 , - 2 , a reta será:

r : X = 5 , - 1 , - 1 + λ 6 , - 3 , - 2

Mas não só isto! Percebam que os planos π 1 e π 2 são tangentes! Para visualizar isto, basta checar que apenas o valor d da equação geral do plano π : a x + b y + c z + d = 0 é modificado!

Portanto, esta reta r cortará os planos π 1 e π 2 em dois extremos da nossa superfície esférica!

Como já temos um dos pontos, basta descobrirmos o ponto que a reta r corta o plano π 2 . O ponto médio entre T e este ponto que calculamos será o centro da superfície. E, além disto, a distância do centro pra qualquer um destes dois pontos será o raio da superfície!

Passo 2

Vamos obter o ponto de interseção da reta r com o plano π 2 . Como todo ponto da reta é dado por X = 5 + 6 λ , - 1 - 3 λ , - 1 - 2 λ , basta substituirmos estas coordenadas na equação geral do plano π 2 . Portanto,

6 5 + 6 λ - 3 - 1 - 3 λ - 2 - 1 - 2 λ + 63 = 0

30 + 36 λ + 3 + 9 λ + 2 + 4 λ + 63 = 0

49 λ = - 98

λ = - 2

Portanto, a interseção será B = 5 - 12 , - 1 + 6 , - 1 + 4 = - 7,5 , 3 .

Logo, o centro da esfera será o ponto médio entre T e B . Portanto,

C = T + B 2 = 5 , - 1 , - 1 + - 7,5 , 3 2 = - 2,4 , 2 2 = - 1,2 , 1

E o raio será:

ρ = d C , T = - 1 - 5 2 + 2 - - 1 2 + 1 - - 1 2

ρ = d C , T = - 6 2 + 3 2 + 2 2

ρ = d C , T = 49 = 7

Portanto, a superfície esférica será:

S : x + 1 2 + y - 2 2 + z - 1 2 = 7 2

S : x + 1 2 + y - 2 2 + z - 1 2 = 49

Resposta

S : x + 1 2 + y - 2 2 + z - 1 2 = 49

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