Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 24.Exercício - Ex. 46

Determine os planos tangentes à superfície esférica que são perpendiculares à reta .

Passo 1

Queremos determinar planos perpendiculares a uma reta dada. Por definição, o vetor diretor da reta será o vetor normal do plano.

Obtendo o vetor diretor da reta , a qual está na sua forma simétrica, temos . Como este vetor será o vetor normal do plano, temos: .

Portanto, a forma geral do plano que estamos buscando será:

E como faremos para descobrir o valor deste ?

Vamos fazer o seguinte. Sabemos que o plano tangencia a superfície esférica. Por definição, sabemos que a distância do centro da esfera até o plano é igual ao raio da superfície. Em outras palavras,

Como o centro já nos foi dado, basta calcularmos a distância do ponto ao plano e verificar o valor de para que seja igual a 1.

Passo 2

Vamos agora calcular a distância do centro da superfície até o plano . Portanto,

Agora, só resolvermos a seguinte equação:

Ou também, para facilitarmos as nossas vidas e retirarmos a raiz e o módulo, vamos elevar ao quadrado. Logo,

Resolvendo esta equação, vamos obter que:

Portanto, obtemos duas soluções: e . Estas duas soluções equivalem a dois planos distintos. Substituindo os valores na equação do plano, obteremos:

Resposta

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