Determine os planos tangentes à superfície esférica S : x - 1 2 + y 2 + z 2 = 6 que são perpendiculares à reta r : x - 1 2 = y = z - 1 .

Passo 1

Queremos determinar planos perpendiculares a uma reta dada. Por definição, o vetor diretor da reta será o vetor normal do plano.

Obtendo o vetor diretor da reta r , a qual está na sua forma simétrica, temos r → = 2,1 , 1 . Como este vetor será o vetor normal do plano, temos: n → = 2,1 , 1 .

Portanto, a forma geral do plano π que estamos buscando será:

π : 2 x + y + z + d = 0

E como faremos para descobrir o valor deste d ?

Vamos fazer o seguinte. Sabemos que o plano tangencia a superfície esférica. Por definição, sabemos que a distância do centro da esfera até o plano é igual ao raio da superfície. Em outras palavras,

d C , π = ρ = 6

Como o centro C = 1 , 0 , 0 já nos foi dado, basta calcularmos a distância do ponto ao plano e verificar o valor de d para que seja igual a 1.

Passo 2

Vamos agora calcular a distância do centro da superfície até o plano π . Portanto,

d C , π = 2 1 + 0 + 0 + d 2 2 + 1 2 + 1 2

d C , π = 2 + 0 + 0 + d 4 + 1 + 1

d C , π = 2 + d 6

Agora, só resolvermos a seguinte equação:

d C , π = 6

Ou também, para facilitarmos as nossas vidas e retirarmos a raiz e o módulo, vamos elevar ao quadrado. Logo,

d C , π 2 = 6 2

2 + d 6 2 = 6 2

4 + 4 d + d 2 6 = 6

d 2 + 4 d + 4 = 36

d 2 + 4 d - 32 = 0

Resolvendo esta equação, vamos obter que:

d = - 4 ± 16 + 128 2 = - 4 ± 144 2

d = - 4 ± 12 2

Portanto, obtemos duas soluções: d = 4 e d = - 8 . Estas duas soluções equivalem a dois planos distintos. Substituindo os valores na equação do plano, obteremos:

π 1 : 2 x + y + z + 4 = 0

π 2 : 2 x + y + z - 8 = 0

Resposta

π 1 : 2 x + y + z + 4 = 0

π 2 : 2 x + y + z - 8 = 0

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