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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 24.Exercício - Ex. 39

Obtenha uma equação geral da superfície esférica circunscrita ao tetraedro determinado pelos planos

π 1 : y - z + 2 = 0

π 2 : x - 1 = 0

π 3 : x + z - 2 = 0

π 4 : y - 1 = 0

Passo 1

A equação reduzida de uma superfície esférica possui a seguinte forma:

S : x 2 + y 2 + z 2 + a x + b y + c z + d = 0

Sendo o centro C = - a 2 , - b 2 , - c 2 e raio ρ .

Se a esfera está circunscrita ao tetraedro, significa que os vértices do tetraedro pertencem a superfície esférica. Portanto, temos que determinar primeiramente os vértices do tetraedro e depois verificar qual superfície S contém estes pontos.

Sendo assim, temos que resolver os seguintes sistemas:

S i s t e m a   1 → y - z + 2 = 0 x - 1 = 0 x + z - 2 = 0

S i s t e m a   2 → y - z + 2 = 0 x - 1 = 0 y - 1 = 0

S i s t e m a   3 → y - z + 2 = 0 x + z - 2 = 0 y - 1 = 0

S i s t e m a   4 → y - 1 = 0 x - 1 = 0 x + z - 2 = 0

Estes 4 sistemas foram obtidos através da combinação de 3 planos dos planos π 1 , π 2 , π 3 , π 4 .

Passo 2

Agora, vamos resolver cada um dos sistemas.

Do Sistema 1, obtemos que: x = 1 , z = 1 e y = - 1 . Portanto, temos o ponto A = 1 , - 1 , 1 .

Do Sistema 2, obtemos que: x = 1 , y = 1 e z = 3 . Portanto, temos o ponto B = 1,1 , 3 .

Do Sistema 3, obtemos que: x = - 1 , y = 1 e z = 3 . Portanto, temos o ponto C = - 1,1 , 3 .

Do Sistema 4, obtemos que: x = 1 , y = 1 e z = 1 . Portanto, temos o ponto D = 1,1 , 1 .

Passo 3

Agora que temos os 4 pontos, vamos substitui-los na equação da nossa superfície S para obtermos um novo sistema, em função de a , b , c e d .

Portanto, temos:

1 2 + - 1 2 + 1 2 + a - b + c + d = 0 1 2 + 1 2 + 3 2 + a + b + 3 c + d = 0 - 1 2 + 1 2 + 3 2 - a + b + 3 c + d = 0 1 2 + 1 2 + 1 2 + a + b + c + d = 0

a - b + c + d = - 3 a + b + 3 c + d = - 11 - a + b + 3 c + d = - 11 a + b + c + d = - 3

Vamos subtrair a segunda linha da terceira linha. Com isto, obtemos:

a - b + c + d = - 3 2 a = 0 - a + b + 3 c + d = - 11 a + b + c + d = - 3

Portanto, já sabemos que a = 0 e resumimos ao seguinte sistema:

- b + c + d = - 3 a = 0 b + 3 c + d = - 11 b + c + d = - 3

Agora, vamos subtrair a terceira linha da quarta. Logo,

- b + c + d = - 3 a = 0 2 c = - 8 b + c + d = - 3

Portanto, já sabemos que c = - 4 . Então, temos o seguinte sistema:

- b + d = 1 a = 0 c = - 4 b + d = 1

Somando a primeira linha da quarta, obtemos:

2 d = 2 a = 0 c = - 4 b + d = 1

Portanto, finalizamos descobrindo que d = 1 e b = 0 .

Portanto, a nossa superfície é dada por:

S : x 2 + y 2 + z 2 - 4 z + 1 = 0

Resposta

S : x 2 + y 2 + z 2 - 4 z + 1 = 0

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