Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 24.Exercício - Ex. 43b
Obtenha, em cada caso, uma equação do plano que contém a reta e é tangente à superfície esférica . Interprete os resultados.
Passo 1
Para resolvermos esta questão, precisamos obter algumas relações entre as variáveis da equação genérica do plano . Isto, precisamos reduzir o número de variáveis deste plano.
Para isto, vamos utilizar a reta . Como o plano contém a reta, significa que os pontos da reta pertencem ao plano. Vamos então pegar dois pontos da reta, substituir na equação do plano e assim reduzir o número de variáveis.
Da equação da reta, vamos escolher arbitrariamente os pontos e . Substituindo na equação do plano , obtemos o seguinte sistema:
Da segunda equação obtemos que . Substituindo na primeira, teremos:
Portanto, o nosso plano é dado por:
Agora sim, já conseguimos trabalhar com o nosso plano. Nosso trabalho agora é descobrir quais valores de e que satisfazem a condição do plano ser tangente a superfície.
Passo 2
Vamos agora colocar a nossa superfície esférica na sua forma reduzida para obtermos o seu centro e raio. Portanto,
E para que esta relação seja satisfeita, sabemos automaticamente que, seja o centro da nossa superfície esférica e seu raio, temos:
Basta resolvermos esta equação acima.
Passo 3
Para resolvermos a relação descrita no passo 1, vamos ter de calcular a distância do centro da superfície até o plano . Portanto,
Agora, só resolvermos a seguinte equação:
Ou também, para facilitarmos as nossas vidas e retirarmos a raiz e o módulo, vamos elevar ao quadrado. Logo,
Para resolvermos esta equação, vamos considerar como nossa variável . Todo o resto será uma constante. Portanto, seria algo do tipo:
Portanto, a solução será dada por:
Portanto, só temos uma única solução. Logo, teremos o seguinte plano:
Colocando o em evidência e passando dividindo, pois ele é diferente de zero, temos:
OBS: pode-se verificar também que só existe um único plano ao perceber que a reta é tangente à superfície !