Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 5.Problemas propostos - Ex. 1
Determinar uma equação vetorial da reta definida pelos pontos e e verificar se os pontos e pertencem a .
Passo 1
Olá, tudo bem? Vamos resolver junto esse exercício? =D
A equação vetorial de uma reta é:
Onde é um ponto que pertence à reta. E também temos que é o vetor paralelo à essa reta.
Então precisamos encontrar um vetor diretor pra essa reta. E o ponto? Bom, vou usar o ponto (aqui eu também poderia ter usado o ponto se problema algum, basta esse ponto pertencer à reta, ok?).
Passo 2
Para achar o vetor, podemos ter um que vá do ponto até o ponto , então esse vetor, que vou chamar de é:
Passo 3
Juntando o ponto e o vetor , podemos escrever a equação vetorial da reta:
Passo 4
Para verificar se os pontos e pertencem a essa reta, precisamos substituir essas coordenadas no lado direito da equação vetorial da reta e resolver o sistema de três equações. Teremos apenas uma variável, o parâmetro , e ele deve ter o mesmo valor em todas as equações.
Vamos começar com o ponto Usando a equação vetorial que achamos no passo anterior temos:
E substituindo o ponto temos:
Assim ficamos com três equações:
Na primeira equação temos:
Agora a segunda:
Até então esse ponto está pertencendo à reta. Vamos à terceira reta:
Oba! Esse ponto pertence à reta =).
Passo 5
Agora vamos fazer o mesmo procedimento para o ponto . Partindo da reta:
Substituindo o ponto :
Assim ficamos com três equações:
Agora vamos pegar a primeira equação:
Agora a segunda:
E a última:
Poxa vida, na última coordenada o parâmetro falhou! E assim, se falhou em uma, esse ponto já não pertence à reta!
Então o ponto não pertence à reta.
Espero ter ajudado!
Vamos pra próxima?