Sejam π 1 : 2 x = y ,π 2 : x = 0 ,π 3 : z = 0 e π 4 o plano determinado por r : X = 1 ,2 ,0 + λ ( 1 ,2 ,- 1 ) e s : x + 1 = z + y = 1 . Verifique se esses planos determinam um tetraedro e calcule, se for o caso, o seu volume (SO).

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 18.Exercício - Ex. 13

Sejam e o plano determinado por e . Verifique se esses planos determinam um tetraedro e calcule, se for o caso, o seu volume (SO).

Passo 1

Bora lá!

Devemos verificar se os planos determinam um tetraedro e, em caso afirmativo, calcular o seu volume, certo?

Passo 2

Vamos analisar o enunciado e vê quem nós conhecemos...

Conhecemos as equações de três planos. O último plano é dado em função de duas retas que o formam. Vamos começar determinado a equação deste plano, beleza? Para isso, vamos considerar o ponto e os vetores diretores das retas que formam o plano:

Para o cálculo acima utilizamos a equação paramétrica da reta

Passo 3

Agora vem o bizu... temos que quatro pontos não coplanares determinam quatro planos: cada plano correspondente a uma face do tetraedro. Para verificar se os planos dados formam um tetraedro, precisamos encontrar quatro pontos não coplanares, cada um pertencendo a um dos planos dados no enunciado. Os pontos podem ser arbitrários conforme cada plano dado, respeitando suas dimensões. Podemos notar, selecionando os pontos, que cada plano, de fato, constitui uma face de um tetraedro. Temos então, na ordem, para os planos:

Passo 4

Precisamos agora, calcular o volume do tetraedro. Para isso, vamos utilizar o vetor normal a cada plano. Dando nome aos bois, chamaremos de o vetor normal ao plano , o vetor normal ao plano e assim sucessivamente.

Utilizando os conceitos de produto misto, temos que o volume do tetraedro é dado por . Com isso, encontramos a partir do produto misto, que o volume é: