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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 18.Exercício - Ex. 22b

Obtenha equações do lugar geométrico dos pontos médios dos segmentos com uma extremidade em r e outra em s e descreva-o geometricamente.

(b) r :     X = 1 ,   2 ,   3 + λ 1 ,   2 ,   3                     s : x + y - z + 1 = 0 2 x - y = 4                        

Passo 1

O exercício nos fornece duas retas e pede para calcularmos a equação do lugar geométrico gerado pelos pontos médios dos segmentos que têm uma extremidade em uma reta e a outra em outra.

r :     X = 1 ,   2 ,   3 + λ 1 ,   2 ,   3                     s : x + y - z + 1 = 0 2 x - y = 4                        

Vamos lá!

Passo 2

Para podermos resolver nosso exercício, vamos escrever s na forma vetorial:

x + y - z + 1 = 0 x = 2 + 1 2 y                         ⇒ 2 + 1 2 y + y - z + 1 = 0 x = 2 + 1 2 y                                                 ⇒ z = 3 + 3 2 y y = y                         x = 2 + 1 2 y

s : X = 2 ,   0 ,   3 + μ ( 1 ,   2 ,   3 )

Passo 3

Vamos, então, achar um ponto genérico P em r :

P = 1 ,   2 ,   3 + λ 1 ,   2 ,   3

P = ( 1 + λ ,   2 + 2 λ ,   3 + 3 λ )

Vamos achar, também, um ponto genérico Q em s :

Q = 2 ,   0 ,   3 + μ 1 ,   2 ,   3

Q = ( 2 + μ ,   2 μ ,   3 + 3 μ )

Para “terminarmos”, temos que os pontos médios dos segmentos P Q → terão a seguinte forma:

M = P x + Q x 2 , P y + Q y 2 , P z + Q z 2

M = 1 + λ + 2 + μ 2 ,   2 + 2 λ + 2 μ 2 ,   3 + 3 λ + 3 + 3 μ 2

M = 3 + λ + μ 2 ,   2 + 2 λ + 2 μ 2 ,   6 + 3 λ + 3 μ 2

Passo 4

Então, o ponto depende de dois parâmetros:

X = 3 2 ,   1 ,   3 + λ 1 2 ,   1 , 3 2 + μ 1 2 ,   1 , 3 2

Agora vem o bizu para matarmos de vez essa questão. Notem que nesse caso, os vetores são LINEARMENTE DEPENDENTES, então, podemos simplesmente retirar um dos vetores, ficando com a equação de reta:

X = 3 2 ,   1 ,   3 + λ 1 2 ,   1 , 3 2

Resposta

X = 3 2 ,   1 ,   3 + λ 1 2 ,   1 , 3 2

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Determine o ponto no qual a reta intercepta o plano dado. x = 1 + t , y = 2 t , z = 3 t ; x + y + z = 1 .
Determine o ponto no qual a reta intercepta o plano dado. x = 5 , y = 4 - t , z = 2 t ; 2 x - y + z = 5 .
Determine o cosseno do ângulo entre os planos x + y + z = 0 e x + 2 y + 3 z = 1 .
Onde a reta que passa pelos pontos ( 1,0 , 1 ) e ( 4 , - 2,2 ) intercepta o plano x + y + z = 6 ?
Determine se os planos são paralelos, perpendiculares ou nenhum dos dois. No caso de nenhum dos dois, calcule o ângulo entre eles. x + y + z = 1 , x - y + z = 1