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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 18.Exercício - Ex. 14c

Calcule o volume do tetraedro (SO) determinado pelas retas r ,   s ,   t e pelo plano π , nos casos:

(c) r :     x - y + z = 0                   r : x = y = z                 s : x = y = 1                 t : X = 1 ,   2 ,   3 + λ ( 0 ,   2 ,   1 )

Passo 1

Para calcularmos o volume do tetraedro, precisamos passar as equações das retas dadas para a forma vetorial, associá-las ao plano e calcular o produto misto dos vetores associados.

Portanto, dividiremos, o exercício em partes.

Vamos lá!

Passo 2

Sejam, conforme no enunciado, as retas:

r : x = y = z

s : x = y = 1

t : X = 1 ,   2 ,   3 + λ ( 0 ,   2 ,   1 )

Notem, que a reta t já está em sua forma vetorial. Passando as demais para a forma de t , temos:

r : X = 0 ,   0 ,   0 + α 1 ,   1 ,   1

s : X = 1 ,   1 ,   0 + β 0 ,   0 ,   1

t : X = 1 ,   2 ,   3 + λ 0 ,   2 ,   1

Se liguem nesse bizu.

Percebam o cuidado de escolher diferentes parâmetros para diferentes equações da reta, pois vamos igualá-las ao plano posteriormente, e uma escolha equivocada dos parâmetros poderia levar a resultados incorretos 😉.

Passo 3

Não podemos nos esquecer do nosso plano, ele é dado por:

π : x - y + z = 0

Se igualarmos as retas ao plano, teremos as interseções. Igualando a primeira:

π : x - y + z = 0

r : X = 0 ,   0 ,   0 + α 1 ,   1 ,   1

α - α + α = 0

α = 0

Passo 4

Do mesmo modo, igualando a segunda:

π : x - y + z = 0

s : X = 1 ,   1 ,   0 + β 0 ,   0 ,   1

β = 0

Por fim, igualando a terceira:

π : x - y + z = 0

r : X = 1 ,   2 ,   3 + λ 0 ,   2 ,   1

- 2 λ + λ = 0

λ = 0

Portanto, conforme vimos nos cálculos, não há pontos em comum, logo não existe um tetraedro.

Resposta

Não existe tetraedro, pois não há ponto comum às três retas.

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