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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 1.6 - Ex. 5

Determinar uma matriz A in M_2 tal que A != 0 e A^2 = A . A = 0 (matriz nula).

Passo 1

Vamos escolher uma matriz A in M_2 genérica para entender o que vai acontecer? Isso pode acabar nos dando uma pista.

Vamos considerar a matriz

A = ([[a,b],[c,d]])

Se eu fizer a multiplicação A^2 = A . A teremos

A^2 = ([[a,b],[c,d]]) . ([[a,b],[c,d]]) = ([[a^2,+,b,c,a,b,+,b,d],[a,c,+,d,c,c,b,+,d^2]])

Analisando essa matriz que encontramos conseguimos concluir que a e d devem ser 0 , pois qualquer outro número que colocarmos eles não irá gerar a matriz nula, beleza?

Agora se você reparar, c ou b podem ser qualquer valor (perceba que eu disse um OU outro), pois sempre teremos um a ou um d multiplicando.

Então, podemos usar como exemplo a matriz

A = ([[0,0],[1,0]])

Assim,

A^2 = ([[0,0],[1,0]]) ([[0,0],[1,0]]) = ([[0,0],[0,0]])

Show de bola?

Resposta

A = ([[0,0],[1,0]])

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Verifique que p o s (A) = p o s ( A^T ) . A = [[[,,,1,2,4,0],[-,3,1,5,2],[-,2,3,1,9,2]]]
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