Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.8 - Ex. 20
Prove: se uma matriz não for quadrada, então ou os vetores linha ou os vetores coluna de são linearmente dependentes.
Passo 1
Olá!! tudo bem? Vamos resolver esse problema supondo que seja uma matriz que não seja quadrada.
possui mais linhas que colunas
ou mais colunas que linhas
No primeiro caso, os vetores de linha "" formariam um conjunto com mais vetores do que a dimensão do espaço n-dimensional , no qual esses vetores estão. Então eles formam um conjunto dependente.
No segundo caso, o mesmo raciocínio mostra que os vetores da coluna formariam um conjunto dependente.
Resposta
Se uma matriz não for quadrada, os vetores de linha ou de coluna de são linearmente dependentes.
Exercícios de Livros Relacionados
Encontre matrizes elementares E 1 , … , E k tais que A = E 1 … E k , para A =1 2 3 2 1 2 0 1 2 .
Seja A uma matriz diagonal, isto é, os elementos que estão fora da diagonal são iguais a zero ( a i j = 0 para i ≠ j ) . Se a i i ≠ 0 , para i = 1 , … , n , mostre que A é invertível e a sua inversa e
Se A B = B A e p é um número inteiro positivo, mostre que A B p = A p B p .
Para matrizes quadradas A = a i j n x n definimos o traço de A como sendo a soma dos elementos da diagonal(principal) de A , ou seja, t r A = ∑ i = 1 n a i i .(b) Mostre que t r α A = α t r A
Já vimos que o produto de matrizes não é comutativo. Entretanto, certos conjuntos de matrizes são comutativo. Mostre que: (b)Se A é uma matriz nxn e B = a 0 I n + a 1 A + a 2 A 2 + … + a k A k em que