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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 1.4 - Ex. 5

Resolver os sistemas homogêneos abaixo:

  1. {[[x - y + 2 z - t = 0],[3 x + y + 3 z + t = 0],[x - y - z - 5 t = 0]])

  2. {[[x + y + z + w - t = 0],[x - y - z + 2 w - t = 0]])

  3. {[[4 x + 3 y - z + t = 0],[x - y + 2 z - t = 0]])

  4. {[[3 x + 2 y - 12 z = 0],[x - y + z = 0],[2 x - 3 y + 5 z = 0]])

Passo 1

Bora fazer conta, galera?? Uhuul!! Ahahahah

Vamos fazer a letra A primeiro.

OBSERVAÇÃO: Muuuuito provável que o “3” na primeira linha seja um erro de digitação, e, na verdade, é um “x”. Então já modificamos isso pra chegar no gabarito que tem lá atrás no livro, ok??

{[[x - y + 2 z - t = 0 -> L_1],[3 x + y + 3 z + t = 0 -> L_2],[x - y - z - 5 t = 0 -> L_3]])

Agora vamos fazer a seguinte operação:

L_2 - 3 L_1 -> L_2

Ou seja, vamos subtrair três vezes a linha 1 da linha 2 e o resultado colocaremos na linha 2. Show de bola? Vai ficar assim:

{[[x - y + 2 z - t = 0 -> L_1],[0 x + 4 y - 3 z + 4 t = 0 -> L_2],[x - y - z - 5 t = 0 -> L_3]])

Seguindo o mesmo raciocínio, faremos agora a operação

L_3 - L_1 -> L_3

E teremos

{[[x - y + 2 z - t = 0 -> L_1],[0 x + 4 y - 3 z + 4 t = 0 -> L_2],[0 x - 0 y - 3 z - 4 t = 0 -> L_3]])

Assim, da equação L_3 , temos

- 3 z - 4 t = 0

-> z = - (4)/(3) t

Da equação L_2 , temos

4 y - 3 z + 4 t = 0

4 y - 3 (- (4)/(3) t) + 4 t = 0

4 y + 4 t + 4 t = 0

-> y = - 2 t

Por último, da equação L_1 , temos

x - y + 2 z - t = 0

x - (- 2 t) + 2 (- (4)/(3) t) - t = 0

x + 2 t - (8)/(3) t - t = 0

-> x = (5)/(3) t

O nosso conjunto solução então será {((5)/(3) t , - 2 t , - (3)/(4) t , t) | t in R} . O sistema Linear é compatível indeterminado.

Passo 2

Agora vamos pra letra B:

{[[x + y + z + w - t = 0 -> L_1],[x - y - z + 2 w - t = 0 -> L_2]])

Vamos começar fazendo subtraindo a linha 2 L_2 da linha 1 L_1 . O resultado colocaremos na linha 2:

L_1 - L_2 -> L_2

Nosso sistema após a operação ficará com essa carinha

{[[x + y + z + w - t = 0 -> L_1],[2 y + 2 z - w = 0 -> L_2]])

Isolando a letra y na linha 2 L_2 :

y = (w - 2 z)/(2)

Substituindo esse y na linha 1 L_1 :

x = t - w - - z - (w - 2 z)/(2) => x = (2 t - 3 w)/(2)

Com isso, o nosso conjunto solução será {((2 t - 3 w)/(2) , (w - 2 z)/(2) , z , w , t) | z , w , t in R} . O sistema Linear é compatível indeterminado.

A letra (C ) será bem parecida:

{[[x - y + 2 z - t = 0 -> L_1],[4 x + 3 y - z + t = 0 -> L_2]])

Fazendo a operação

L_2 - 4 L_1 -> L_2

Teremos

{[[x - y + 2 z - t = 0 -> L_1],[7 y - 7 z + 5 t = 0 -> L_2]])

Conseguimos concluir a partir da segunda equação do sistema que

y = z - (5 t)/(7)

Substituindo o na primeira equação do sistema, temos

x = z - (5 t)/(7) - 2 z + t => x = (2 t)/(7) - z

Portanto, o nosso conjunto solução será

{((2 t)/(7) - z , z - (5 t)/(7) , z , t) | z , t in R}

O sistema Linear é compatível indeterminado.

Passo 3

Faltou agora só a letra (D)

{[[3 x + 2 y - 12 z = 0 -> L_1],[x - y + z = 0 -> L_2],[2 x - 3 y + 5 z = 0 -> L_3]])

Primeiro trocar as linhas 1 e 2 do nosso sistema,

{[[x - y + z = 0 -> L_1],[3 x + 2 y - 12 z = 0 -> L_2],[2 x - 3 y + 5 z = 0 -> L_3]])

Agora vamos fazer as operações

L_3 - 2 L_1 -> L_3

L_2 - 3 L_1 -> L_2

Depois que fizermos essas operações no sistema, ficaremos com essa carinha:

{[[x - y + z = 0 -> L_1],[5 y - 15 z = 0 -> L_2],[- y + 41 z = 0 -> L_3]])

Vamos fazer mais uma operação:

5 L_3 + 2 L_2 -> L_3

E teremos

{[[x - y + z = 0 -> L_1],[5 y - 15 z = 0 -> L_2],[- 34 z = 0 -> L_3]])

Daí conseguimos concluir que o sistema admite somente a solução trivial {(0,0 , 0)} , sendo compatível determinado.

Resposta

  1. O conjunto solução será {(t , 4 t , 0) | t in R} . O sistema Linear é compatível indeterminado.

  2. O conjunto solução será {((2 t - 3 w)/(2) , (w - 2 z)/(2) , z , w , t) | z , w , t in R} . O sistema Linear é compatível indeterminado.

  3. O conjunto solução será {((2 t)/(7) - z , z - (5 t)/(7) , z , t) | z , t in R} . O sistema Linear é compatível indeterminado.

  4. O sistema admite somente a solução trivial {(0,0 , 0)} , sendo compatível determinado.
Ver Outros Exercícios desse livro

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