Determinar um operador linear do cujo núcleo tenha dimensão .

Agora vamos precisar de um vetor genérico:

Agora vamos aplicar , T e :

Vamos escrever na forma de matriz porque aí não tem erro:

Podemos provar que esse operador tem dimensão do núcleo igual a e a da imagem é igual a .

Para o núcleo vamos igualar a zero:

Vamos montar em forma de sistema:

Vamos usar a primeira equação:

Vamos isolar :

E vamos reescrever a segunda equação em função de :

Temos que:

E que:

Para a imagem vamos usamos o vetor , e reescreve-lo como soma de outros vetores:

Como tem dimensão igual a , se usarmos os três vetores para determinar a imagem teremos um conjunto . Bora ver isso?

Vamos verificar se nossos vetores são

Vamos escrever na forma de sistema:

Podemos escolher qualquer equação para começar. Vamos fazer com a primeira:

Agora isolando , temos:

E temos:

Os três vetores são linearmente dependentes, pois .

Para que sejam linearmente independentes precisamos excluir o vetor , porque aí não temos o , e não teremos dependência. Mas, bora conferir isso?

Usando os vetores:

Vamos escrever na forma de sistema:

Vamos escolher a primeira equação e isolar :

Temos que:

Então, temos:

Então, temos a partir dos vetores e que:

E que: