Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 2- Ed: 6º - Capítulo 3.2 - Ex. 9
Seja uma sequência de números reais dois a dois distintos e uma seqüência qualquer de números reais. Provar que existe um, e apenas um polinômio , tal que
Sugestão: use os polinômios de Lagrange.
Passo 1
Oi, tudo bem? Bora resolver mais um exercício?
Se não se lembra desse conteúdo, é hora de dar aquela revisão. Ok?
Dada a sequência de números reais, e ainda, distintos, certo?
Seja um polinômio tal que .
Passo 2
Vamos lá! Sejam as constantes tais que
Por definição, sabemos que:
Como é uma base de , então é uma combinação linear desta base, portanto, é único. E ainda,
Resposta
E, assim, concluímos a prova.
Exercícios de Livros Relacionados
Para k = 0,1 , … , n , seja p k t = t k + t k + 1+ … + t n . Mostre que o conjunto { p 0 t , p 1 t , … , p n t } é linearmente independente em p = R [ t ] .
Verifique se os polinômios seguintes são linearmente dependentes ou independentes. a )t 2 - 2 t + 3,2 t 2 + t + 8 , t 2 + 8 t + 7 ; b )t 2 - 1 , t + 1 , t + 2 .
Verifique que as funções e t cos 3 tee t sin 3 t são soluções linearmente independentes da equação diferencial y ' ' - 2 y ' + 10 y = 0 .
Suponha que S = X 1 , X 2 , X 3 seja um conjunto linearmente independente de vetores de um espaço vetorial V. Responda se T = { Y 1 , Y 2 , Y 3 } e linearmente dependente ou independente nos seguintes
Mostre que y 1 t = e λ t , y 2 t = t e λ t são soluções linearmente independentes da equação diferencial y ' ' - 2 λ y ' + λ 2 y = 0 .