Enunciado

Seja ( t 0 ,   t 1 , … ,   t n ) uma sequência de números reais dois a dois distintos e s 0 ,   s 1 , … ,   s n )   uma seqüência qualquer de números reais. Provar que existe um, e apenas um polinômio f ( t ) , tal que f t i = s j .  

Sugestão: use os polinômios de Lagrange.

Passo 1

Oi, tudo bem? Bora resolver mais um exercício?

Se não se lembra desse conteúdo, é hora de dar aquela revisão. Ok?

Dada a sequência ( t 0 , t 1 ,   ⋯ , t n ) de números reais, e ainda, 2 - 2 distintos, certo?

Seja f ( t ) um polinômio tal que ∂ f t ≤ n .

Passo 2

Vamos lá! Sejam s i as constantes tais que f t i = s i ,   i = 0 ,   ⋯ ,   n .

Por definição, sabemos que:

f t = f t 0 × L 0 t + f t 1 × L 1 t + ⋯ + f t n × L n t .

Como   { L 0 t , L 1 t , ⋯ ,   L n t } é uma base de P n , então f t é uma combinação linear desta base, portanto, f ( t ) é único. E ainda,

f t = s 0 × L 0 t + s 1 × L 1 t + ⋯ + s n × L n t .

Resposta

E, assim, concluímos a prova.

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Para k = 0,1 , … , n , seja p k t = t k + t k + 1+ … + t n . Mostre que o conjunto { p 0 t , p 1 t , … , p n t } é linearmente independente em p = R [ t ] .
Verifique se os polinômios seguintes são linearmente dependentes ou independentes. a )t 2 - 2 t + 3,2 t 2 + t + 8 , t 2 + 8 t + 7 ; b )t 2 - 1 , t + 1 , t + 2 .
Verifique que as funções e t cos ⁡ 3 tee t sin ⁡ 3 t são soluções linearmente independentes da equação diferencial y ' ' - 2 y ' + 10 y = 0 .
Suponha que S = X 1 , X 2 , X 3 seja um conjunto linearmente independente de vetores de um espaço vetorial V. Responda se T = { Y 1 , Y 2 , Y 3 } e linearmente dependente ou independente nos seguintes
Mostre que y 1 t = e λ t , y 2 t = t e λ t são soluções linearmente independentes da equação diferencial y ' ' - 2 λ y ' + λ 2 y = 0 .