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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle - Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 5.Problemas Propostos - Ex. 53

Determinar os pontos de interseção do plano:

π : 2 x + 4 y - z - 4 = 0

Com os eixos coordenados e, também, a reta interseção deste plano com o plano x O y .

Passo 1

Esse exercício é semelhante ao anterior, mas ao invés de querer a interseção com os planos, querem pontos que interceptam cada um dos eixos coordenados.

Quando um ponto toca o eixo x , então y   e z   serão nulos. Se o ponto toca o eixo y , então x e z serão nulos. O mesmo vale para quando o ponto toca o eixo z , nesse caso x = y = 0 .

Vamos começar quando o ponto toca o eixo x , chamaremos de O x e nesse cas0 y = z = 0 :

Nossa equação é:

2 x + 4 y - z - 4 = 0

Substituindo os valores nulos, teremos:

2 x + 4 . 0 - 0 - 4 = 0

2 x - 4 = 0

2 x = 4

x = 2

Nosso primeiro ponto será ( 2,0 , 0 ) .

Passo 2

Agora, calcularemos O y , e nesse caso x = z = 0 .

Nossa equação é:

2 x + 4 y - z - 4 = 0

Substituindo os valores nulos, teremos:

2 . 0 + 4 y - 0 - 4 = 0

4 y - 4 = 0

4 y = 4

y = 1

Nosso primeiro ponto será ( 0,1 , 0 ) .

Passo 3

Por fim, calcularemos O z , e nesse caso x = y = 0 .

Nossa equação é:

2 x + 4 y - z - 4 = 0

Substituindo os valores nulos, teremos:

2.0 + 4 . 0 - z - 4 = 0

z = - 4

Nosso primeiro ponto será ( 0 , 0 , - 4 ) .

Passo 4

Por fim, o exercício pede reta de interseção de x O y , isso significa que z = 0 :

2 x + 4 y - z - 4 = 0 z = 0

Substituindo o valor nulo na equação e isolando y , teremos nossa equação:

2 x + 4 y - z - 4 = 0

2 x + 4 y - 0 - 4 = 0

2 x - 4 = - 4 y

- 2 x + 4 = 4 y

y = - 2 x + 4 4

y = - 1 2 x + 1

Resposta

2,0 , 0 , 0,1 , 0 , ( 0,0 , - 4 )

y = - 1 2 x + 1

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Escreva uma equação cartesiana do plano determinado pelo ponto ( 1,2 , 1 ) e pela reta x - 1 2 = y - 1 - 1 = z
Calcule as coordenadas do ponto A ' , projeção ortogonal de A = 4,0 , 2 sobre o plano 3 x - y - z + 23 = 0
Dados os pontos A = 1,1 , 3eB = ( 1,3 , 1 ) , ache uma equação do plano ortogonal ao segmento A B e passando pelo seu ponto médio.
Dados A = (1, 2, 3) e B = (4, 5, 6), determine os pontos em que a reta AB corta os planos Πxy, Πxz e Πyz.
No exercício anterior, supondo que as retas dadas sejam paralelas, que se pode dizer sobre a reta (αa1 + βa2)x + (αb1 + βb2)y = αc1 + βc2?