Enunciado

Nos problemas 49 e 51, determinar o ponto de interseção da reta r com o plano π nos seguintes casos:

r : x = 2 y - 3 = 2 z - 3 3               e             π : 2 x - y + 3 z - 9 = 0

Passo 1

Nesse exercício, queremos encontrar a interseção da reta r com o plano π , e para isso vamos começar a manipular as equações que fazem parte da reta, vamos começar fragmentando essas equações e deixando-as em função de x . Sabemos que:

x = 2 y - 3

x = 2 z - 3 3

Vamos começar isolando y na primeira equação:

y = x + 3 2

Isolando z na segunda equação, termeos:

x = 2 z - 3 3

3 x = 2 z - 3

3 x + 3 = 2 z

z = 3 x + 3 2

Passo 2

Agora que conhecemos quem é z e y , podemos garntir a interseção da reta com o plano fazendo substituição dos termos z e y no plano π :

2 x - y + 3 z - 9 = 0

Substituindo, teremos:

2 x - x + 3 2 + 3 3 x + 3 2 - 9 = 0

Para facilitar, podemos multiplicar tudo por 2 :

4 x - x - 3 + 9 x + 9 - 18 = 0

Simplificando:

12 x - 12 = 0

x = 1

Passo 3

Agora que sabemos o valor de x = 1 , podemos retornar o cálculo e substituir em y e z . Vamos começar com y :

y = x + 3 2 = 4 2 = 2

Agora com z :

z = 3 x + 3 2 = 6 2 = 3

Dessa forma, teremos um P ( x , y , z ) que é a intereseção da reta e pode ser dado por P ( 1,2 , 3 ) .

Resposta

P ( 1,2 , 3 )

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