Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 3.10 - Ex. 25
Seja subespaço do com produto interno usual. Seja .
a) Ortonormalizar o conjunto .
b) Completar o conjunto de modo a transformá-lo numa base ortogonal de .
Passo 1
O problema fornece um subespaço vetorial e uma conjunto contindo em . No item (a) devemos ortonormalizar o conjunto . O primeiro passo para ortonormalizar um conjunto de vetores é verificar se eles são ortogonais. Para isso, tomamos o produto interno:
Vemos que os vetores de já são ortogonais! Assim, só precisamos normalizá-los. Para isso, calculamos suas normas:
Assim, dividindo os vetores pelas normas:
Portanto, o conjunto ortonormalizado pode ser escrito como:
Nesse problema, agradeça que os vetores de já eram ortogonais e não precisamos aplicar o método de Grand-Schimidt!
Passo 2
Já no item (b), devemos completar o conjunto de modo a obter uma base ortogonal para o subespaço . Para isso, primeiro vamos encontrar uma base de . Um vetor genérico de pode ser escrito como:
Vamos denotar , e . Um vetor genérico de é combinação linear de . Portanto, esse conjunto forma uma base para .
Sabemos também que e são combinações lineares de , e . O que queremos é achar tal que seja uma base ortogonal de .
Como deve pertencer a , ele deve ser combinação linear de , e , de modo que
Assim,
Ou ainda,
Passo 3
Além disso, como deve ser ortogonal, deve ser ortogonal a :
Portanto,
Analogamente, deve ser ortogonal a :
Temos então
OBS: repare que não usei os vetores e normalizados pois o problema pede apenas uma base ortogonal, não ortonormal 😊
Esse sistema tem infinitas soluções. Para os nossos propósitos, podemos usar qualquer uma dessas soluções. Tomando , achamos
Resolvendo esse sistema, achamos
Portanto,
Assim, a base será