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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 5.7 - Ex. 27

Determinar a e b para que os seguintes operadores no R 3 sejam simétricos:

  1. T :   R 3 → R 3 ,   T x ,   y ,   z = 3 x - 2 y ,   a x + y - 3 z ,   b y + z
  2. T :   R 3 → R 3 ,   T x ,   y ,   z = x + 2 z ,   a x + 4 y + b z ,   2 x - 3 y + z

Passo 1

Para o operador linear ser simétrico, a matriz canônica relacionada a ele tem que ser simétrica! Essa matriz é obtida colocando os coeficientes dos vetores nas linhas! Então vamos pra montar a matriz de cada letra!

Passo 2

A matriz canônica da transformação da letra a é:

T A = 3 - 2   0 a   1 - 3 0   b   1

Para ser simétrica,

a = - 2 b = - 3

Passo 3

A matriz canônica da transformação da letra b é:

T B = 1 0 2 a 4 b 2 - 3 1

Para ser simétrica,

a = 0 b = - 3

Resposta

  1. a = - 2 , b = - 3
  2. a = 0 , b = - 3
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Sejam u e v dois vetores linearmente independentes do R 3 . Mostrar que existem dois, e apenas dois vetores de norma igual a 1 que são ortogonais simultaneamente a u e v .
Sejam U e V sub-espaços vetoriais de um espaço euclidiano de dimensão finita. Provar que U ∩ V ⊥ = U ⊥ + V ⊥ .
Determine a isometria do R 3 cuja matriz em à base canônica é 1 2 1 2 0 0 0 1 x y z Obs. x , y e z devem ser determinados numericamente.
Mostre que (I_2 - A) (I_2 + A)^(- 1) é uma matriz ortogonal, onde A = ([[0,5],[-,5,0]]) .
Mostrar que a matriz de mudança de base entre duas bases ortonormais de um espaço euclidiano de dimensão finita é uma matriz ortogonal.