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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 6.4 - Ex. 15

Sejam U e V sub-espaços vetoriais de um espaço euclidiano de dimensão finita. Provar que U ∩ V ⊥ = U ⊥ + V ⊥ .

Passo 1

Beleuza creusa, inicialmente tomamos que w ∈ U ⊥ + V ⊥ . Dessa forma, podemos escrever o elemento w da seguinte forma w = u - + v - , com u - ∈ U ⊥ e v - ∈ W ⊥ .

Desse modo, dado um elemento w ^ ∈ U ∩ V , temos que

w ,   w ^ = u - + v - ,   w ^ = u - ,   w ^ + v - ,   w ^ = 0

Pois w ^ ∈ U e w ^ ∈ V . Logo, temos que w ∈ U ∩ V ⊥ . E concomitantemente mostramos que U ⊥ + V ⊥ ⊂ U ∩ V ⊥ .

Passo 2

Bora que ta ficando bonito hueheu suponha que U e V sejam sub-espaços vetoriais de um espaço vetorial W , logo

W = U ⊥ + V ⊥   ⊕   U ⊥ + V ⊥ ⊥  

Como sabemos que U + V ⊥ = U ⊥ ∩ V ⊥ , então   U ⊥ + V ⊥ ⊥   = U ∩ V , logo podemos reescrever W como

W = U ⊥ + V ⊥   ⊕ U ∩ V

Assim sendo, podemos expressar w ∈ U ∩ V ⊥ da seguinte forma

w = w 1 + v

Onde w 1 ∈ U ⊥ + V ⊥ e v ∈ U ∩ V , logo

w ,   v = w 1 + v ,   v = w 1 ,   v + v ,   v = 0

Já que w 1 ,   v = 0 , então v ,   v = 0 e obtemos que v = 0 V . Desse modo concluímos que w ∈ U ⊥ + V ⊥ . Assim temos que U ∩ V ⊥ ⊂ U ⊥ + V ⊥ .

Passo 3

Agora ficou tudo uma maravilha né, no Passo 1 mostramos que U ⊥ + V ⊥ ⊂ U ∩ V ⊥ e em sequência no Passo 2 mostramos que U ∩ V ⊥ ⊂ U ⊥ + V ⊥ , portanto temos que U ∩ V ⊥ = U ⊥ + V ⊥ .

Resposta

Demonstração

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