Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 6.4 - Ex. 24
Mostrar que a matriz de mudança de base entre duas bases ortonormais de um espaço euclidiano de dimensão finita é uma matriz ortogonal.
Passo 1
Vamos começar essa questão lá do início, obtendo essa matriz ortogonal.
Esse processo de obtenção vai ajudar com que a gente entenda o que está ocorrendo e assim, consiga visualizar facilmente o porquê da matriz de mudança de base ser ortogonal.
Então, vamos começar escrevendo duas bases ortonormais. Elas são e . Podemos escrever um vetor em função de cada base. Para isto, basta fazermos a combinação linear de cada base. Desta forma, temos:
Ambas as equações acima estão corretas. Da primeira, temos que os coeficientes são as coordenadas do vetor na base . Já da segunda, temos que os coeficientes são as coordenadas do vetor na base .
A nossa intenção é escrever uma matriz que transforme as coordenadas em relação a base para as coordenadas de (poderia ser o inverso, tanto faz a escolha).
Passo 2
E agora? O que temos que fazer?
Bom, como cada vetor pertencem ao mesmo espaço vetorial que os vetores da base , podemos escrever cada vetor de como combinação linear dos vetores de . Com isto, temos:
Já começamos a identificar os coeficientes acima como algo do tipo pois eles serão exatamente os elementos da nossa matriz de mudança de base.
Passo 3
Agora, temos que substituir cada vetor pela sua combinação dos vetores da base na equação . Com isto, vamos obter:
Mas espera aí. A relação acima não é o vetor escrito como combinação linear dos vetores ? Mas não foi a primeira equação que escrevemos lá no Passo 1? Relembrando:
Então, podemos comparar tudo que multiplica em cada uma das equações, tudo que multiplica e assim por diante. Com isto, temos:
Escrevendo matricialmente, temos:
E essa matriz é a nossa matriz de mudança de base. Percebam que a primeira coluna corresponde as coordenadas do vetor na base . Já a segunda coluna são as coordenadas do vetor na base , e assim por diante.
É esta relação que precisamos ter bem em mente. Cada coluna corresponde as coordenadas do vetor na base .
Passo 4
Agora que a gente obteve a matriz de mudança de base e entendemos o significado dela, podemos partir para provar que, assumindo que e são bases ortonormais, a matriz é uma matriz ortogonal.
Uma matriz ortogonal é aquela que a sua inversa é igual a transposta, isto é, .
O que precisamos utilizar agora é a relação de uma matriz com sua inversa. O produto entre elas é igual a matriz identidade. Logo,
Como queremos provar que a matriz é ortogonal, então vamos verificar se, , e portanto,
Olhem bem atentamente a primeira linha da matriz . Ela é igual a primeira coluna de (coordenadas de na base ). Portanto, se a gente multiplica a primeira linha de pela primeira coluna de , temos exatamente o resultado do produto interno de por .
E qual seria o resultado do produto da primeira linha de pela segunda coluna de , que corresponde as coordenadas do vetor na base ? Será o produto interno de com .
E o produto da linha de , que corresponde as coordenadas do vetor pela primeira coluna de ? Será o produto interno de por .
Bom, podemos continuar repetindo várias e várias vezes esta relação, mas acredito que a ideia do que ocorre já foi entendida. O resultado de pode ser escrito em relação a produtos internos de vetores por vetores . Portanto,
Por definição, uma base é ortonormal se , para todo e , para todo . Portanto, assumindo que as bases e são ortonormais, temos:
O que é uma verdade. Portanto, a consideração de que a matriz de mudança de base era ortogonal é verdade. Assim, concluímos a questão provando o que ela havia pedido.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)