Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 6.4 - Ex. 27
Determine a isometria do cuja matriz em à base canônica é
Obs. , e devem ser determinados numericamente.
Passo 1
Bora lá! Temos que descobrir apenas 3 números para resolver a questão. Que beleza!
E o melhor ainda é que vocês vão ver que são três números fáceis de serem calculados. Bem fáceis na verdade. Mas... temos um pequeno probleminha: saber como calcular.
Como são fáceis de calcular se a gente não sabe calcular? Exatamente esta é a questão.
Mas a gente resolve este problema fácil. Só precisamos de um pouco de teoria!
Vejam só, se uma transformação é uma isometria, a sua matriz é automaticamente ortogonal . Tudo bem até aqui?
Agora que está a sacada. Se uma matriz é ortogonal, significa que as linhas (ou colunas) da matriz formam uma base ortonormal (vetores de norma unitária e ortogonais entre si) em relação ao produto interno usual.
Então, podemos dizer que os vetores , e formam uma base ortonormal. Mas também podemos dizer que , e também formam uma base ortonormal!
E será assim que iremos calcular. Vamos descobrir os valores de e tais que , e forma uma base ortonormal!
Passo 2
Agora que a gente discutiu bastante sobre teoria (a parte mais difícil), vamos as contas.
Começaremos então para descobrir o valor de , o qual é o mais fácil de todos. Como o vetor tem norma unitária, temos:
Portanto, temos . Estão vendo que foi o mais fácil de calcular? Hahaha!
Agora, vamos repetir o mesmo procedimento para . Com isto, temos:
Assim descobrimos dois valores de que satisfazem a nossa relação.
Passo 3
Para descobrirmos o valor de , poderíamos repetir o mesmo procedimento que fizemos com para obter que . Mas não vamos fazer esta abordagem, vamos fazer uma análise diferente pra obter a “ordem” correta dos valores de com os de .
Complicado? Talvez, vai ficar mais claro quando finalizarmos.
Bom, lembram que a base é ortonormal? Então, os vetores e são ortogonais em relação ao produto interno usual. Portanto,
Portanto, quando , temos . Já quando , temos .
No final, e , só que temos um par de valores corretos. Então, temos que tomar cuidado na hora de escolhermos!
Bom, assim, finalizamos a nossa questão.
Resposta
Temos duas possibilidades de respostas. A primeira é , e . Já a segunda é , e .