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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 6.4 - Ex. 25

Mostre que (I_2 - A) (I_2 + A)^(- 1) é uma matriz ortogonal, onde A = ([[0,5],[-,5,0]]) .

Passo 1

Vamos lá! Mostrar que uma matriz X é ortogonal significa mostrar que X^t = X^(- 1) . Basta mostrarmos isto.

Mas... Para podermos verificar isto, precisamos primeiro saber quem é esta matriz X . E quando sabemos que X = (I_2 - A) (I_2 + A)^(- 1) ..... pois é, temos um pequeno trabalho para calcular este X antes de tudo.

Mas, se nós fizermos devagar. Uma conta por cada vez, vamos conseguir resolver a questão tranquilamente!

Passo 2

Então, antes de começarmos as contas, vamos só relembrar que I_2 é a matriz identidade de ordem 2. Isto é:

I_2 = ([[1,0],[0,1]])

Agora sim. Vamos para as nossas contas!

X = (I_2 - A) (I_2 + A)^(- 1)

(([[1,0],[0,1]]) - ([[0,5],[-,5,0]])) (([[1,0],[0,1]]) + ([[0,5],[-,5,0]]))^(- 1)

([[1,-,5],[5,1]]) ([[1,5],[-,5,1]])^(- 1)

Vamos calcular a inversa de ([[1,5],[-,5,1]]) . Ela será:

([[1,5],[-,5,1]])^(- 1) = (1)/(det ([[1,5],[-,5,1]])) ([[1,-,5],[5,1]]) = (1)/(26) ([[1,-,5],[5,1]]) = ([[(1)/(26),-,(5)/(26)],[(5)/(26),(1)/(26)]])

Então, substituindo a relação acima no nosso produto, temos:

([[1,-,5],[5,1]]) ([[(1)/(26),-,(5)/(26)],[(5)/(26),(1)/(26)]]) = ([[-,(24)/(26),-,(10)/(26)],[(10)/(26),(- 24)/(26)]])

Portanto, a nossa matriz X é:

X = ([[-,(24)/(26),-,(10)/(26)],[(10)/(26),(- 24)/(26)]])

Passo 3

Para finalizarmos a questão, vamos mostra que X^t = X^(- 1) . Para isto, vamos utilizar a seguinte identidade das matrizes inversas:

X X^(- 1) = I

Portanto,

X X^t = I

Se a matriz X realmente for ortogonal, ela satisfará a relação acima. Logo, partindo para os cálculos, temos:

([[-,(24)/(26),-,(10)/(26)],[(10)/(26),(- 24)/(26)]]) ([[-,(24)/(26),(10)/(26)],[-,(10)/(26),(- 24)/(26)]]) = ([[1,0],[0,1]])

([[(24^2 + 10^2)/(26^2),(- 240 + 240)/(26^2)],[(- 240 + 240)/(26^2),(10^2 + 24^2)/(26^2)]]) = ([[1,0],[0,1]])

([[(676)/(676),0],[0,(676)/(676)]]) = ([[1,0],[0,1]])

([[1,0],[0,1]]) = ([[1,0],[0,1]])

Como a relação acima é uma verdade, acabamos de provar que a matriz X realmente é ortogonal!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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