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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 2.7 - Ex. 22

Determinar um suplementar do seguinte subespaço do R 3 :

W = x , y , z     x - y = 0 }

Passo 1

Vamos primeiro relembrar o que significa ser suplementar:

Se U e W são dois subespaços vetoriais do espaço vetorial V   tais que   U   ⊕   W   =   V , diremos que U é suplementar (ou complementar) de W (ou W é suplementar de U ).

Assim, se temos o subespaço

W = x , y , z     x - y = 0 }

Um elemento de W   pode ser escrito da forma,

x , y , z = x 1,0 , 0 + x 0,1 , 0 + z ( 0,0 , 1 )

Assim, W = [ 1,0 , 0 , 0,1 , 0 , 0,0 , 1 ] .

Se tomarmos o subespaço V da forma

V = x , y , z     x = z = 0 }

Um elemento de V pode ser escrito da forma,

x , y , z = y ( 0 , 1 , 0 )

Assim, V = [ 0 , 1,0 ] .

Passo 2

Primeiro vamos verificar que V + W = R 3

V + W = { u + w ,   ∀   v   ∈ V   e   ∀   w ∈ W }

Assim,

v + w =   x 1,0 , 0 + x 0,1 , 0 + z 0,0 , 1 + y 0 , 1,0 = ( x , x + y , z )

Dessa forma,

a , b , c = ( x , x + y , z )

Ou seja,

a = x b = x + y c = z ⇒ x = a y = b - a z = c

Note que sempre poderemos escrever R 3 como U + V , se tomar   x , y , z definidos acima.

Logo, U + V = R 3 .

Além disso, W ∩ V = 0 ,   de modo que U + V é soma direta.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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