Exercícios de União, Soma e Interseção de Subespaços Vetoriais - Lista de Exercícios Resolvida

Sejam e subespaços do espaço vetorial .

Se sabemos que não está contido em , nem está contido em , podemos afirmar que:

é um subespaço de , mas não é um subespaço de

é um subespaço de e pode ser um subespaço de

não é um subespaço de e também não é um subespaço de

é um subespaço de e também é um subespaço de

Considere os conjuntos abaixo:

E que:

1. pois só possuem um vetor em comum.
2. , já que é gerado por vetores

Ambas as afirmativas são verdadeiras.

I é verdadeira e II é falsa

II é verdadeira e I é falsa

Ambas são falsas

Considere e planos distintos contendo a origem em . Determine :

Considere e planos distintos contendo a origem em . Determine :

Sejam os vetores , , com coordenadas referidas a uma base Indicar qual das seguintes afirmações é falsa.

Em , considere os subespaços vetoriais e . Então,

e

e

e

e

Sejam H1 = {(x, y, z) ∈ R3|x − 2y − 3z = 0} e H2 = {(x, y, z) ∈ R3|y = −x; z = x} dois subespaços de R3.

a) Encontrar uma base para H1 e H2 e determinar dimH1 e dimH2.

b) Determine H1⋂H2.

c) Determine H1 + H2.

d) Formar uma base de R3 usando vetores de H1 e H2.

Considere os subespaços e de definidos por:

Temos que a dimensão de é igual a:

a)

b)

c)

d)

e)

Em , sejam o subespaço gerado por e , e o subespaço gerado por e .

Encontre uma base para .

Verifique que a união não é um subespaço vetorial de .

Seja uma matriz . Assinale o conjunto abaixo que nem sempre é um subespaço vetorial:

(a)

(b)

(c)

(d)

Considere os seguintes subespaços U e W do espaço vetorial :

(a) Determine uma base para o subespaço W.

(b) Determine a dimensão: Diga se U+W é soma direta.

(c) O vetor pertence a U+W?

Seja o espaço vetorial das matrizes 2 x 2 com produto interno canônico. Considere os subespaços vetoriais.

e

a) Encontrar uma base de e de .

Sejam uma base de e um vetor não nulo. Considere as afirmações abaixo:

(I) Se pertence aos planos e , então pertence à reta

(II) Os subespaços e se interceptam em apenas um ponto.

(a) (I) é falsa e (II) é falsa.

(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira.

(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.

(d) (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.

Seja uma matriz , qual conjunto abaixo contém apenas vetores do ?

Considere os seguintes subespaços vetoriais de :

E

Uma base da interseção é:

Escolha uma opção:

Considere os subespaços de definidos por:

Se forem tais que pertence à interseção , então será igual a:

Escolha uma opção:

1. 0
2. 3
3. 2
4. 4
5. 1

Avalie se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas.

1. A união de dois subespaços vetoriais é sempre um subespaço vetorial.
2. A intersecção de dois subespaços vetoriais é sempre um subespaço vetorial.

A afirmação é falsa e a é verdadeira.

Ambas são falsas.

Ambas são verdadeiras.

A afirmação é falsa e a é verdadeira.

Em , sejam o subespaço gerado pelos vetores , , , e o subespaço dado pelo conjunto solução do seguinte sistema linear homogêneo:

Encontre um sistema linear homogêneo nas variáveis , , , , que tenha como conjunto solução. Justifique.

Encontre uma base para a interseção .

Os núcleos das matrizes

são dois planos de . A interseção destes planos é:

(a) o conjunto vazio.

(b) um ponto.

(c) uma reta.

(d) um plano.

Sejam um espaço vetorial de dimensão . Considere as seguintes afirmações:

Todo conjunto gerador de é linearmente independente.

Dados dois subespaços de , a dimensão do subespaço obtido pela interseção entre eles não pode ser maior que .

Qual das opções abaixo é CORRETA?

A afirmativa é falsa e é falsa.

A afirmativa é verdadeira e é falsa.

A afirmativa é falsa e é verdadeira.

A afirmativa é verdadeira e é verdadeira.

Sejam e subespaços quaisquer do espaço vetorial . Assinale a alternativa FALSA:

pode ser igual a

sempre é um subespaço de

nunca é um subespaço de

Dizemos que o subespaço é uma soma direta de e se .

Sabendo disto, considere os seguintes subespaços e do espaço vetorial .

O subespaço é uma soma direta?

Calcule a dimensão de .

Seja um espaço vetorial de dimensão finita e maior ou igual a e seja um subconjunto de com três elementos. Considere as seguintes afirmações:

(I) se forem tais que gera , então e serão ambos não nulos;

(II) se forem tais que gera , então e serão linearmente independentes;

(III) se for linearmente independente e for um subespaço de de dimensão 2 tal que , então terá dimensão maior ou igual a .

Assinale a alternativa correta:

a) apenas as afirmações I e II são necessariamente verdadeiras;

b) apenas as afirmações I e II necessariamente verdadeiras;

c) apenas a afirmação I é necessariamente verdadeira;

d) nenhuma das afirmações é necessariamente verdadeira;

e) apenas a afirmação III é necessariamente verdadeira;

Sejam e subespaços vetoriais de , com e. Qual opção abaixo não pode acontecer?

(a)

(b)

(c)

(d)

Seja . Considere as afirmações:

1. Se e então .
2. é um subespaço vetorial de .

é verdadeira e é falsa

Ambas são verdadeiras

é verdadeira e é falsa

Ambas são falsas

Seja o plano de formado pelos vetores que satisfazem

b) Determina os geradores de

Diga se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas.

Sejam subespaços do espaço vetorial . Então, a união é um subespaço de se e somente se .

Sejam subespaço de e . Então, o conjunto formado pelos vetores da forma , com e , é um subespaço de .

Ambas são verdadeiras.

Ambas são falsas.

é verdadeira e é falsa.

é verdadeira e é falsa.

Sejam um espaço vetorial de dimensão e uma base de . Considere as seguintes afirmações:

1. Para todo , o conjunto é linearmente independente;
2. O conjunto é linearmente independente;
3. O conjunto é linearmente independente.

Assinale a alternativa correta:

1. apenas as afirmações (I) e (III) são necessariamente verdadeiras;
2. apenas as afirmações (II) e (III) são necessariamente verdadeiras;
3. apenas as afirmações (I) e (II) são necessariamente verdadeiras;
4. apenas a afirmação (III) é necessariamente verdadeira;
5. apenas a afirmação (I) é necessariamente verdadeira.

Considere o conjunto

munido das operações de soma e multiplicação por escalar definidas por

para todos e todo . Temos que o conjunto , munido dessas operações, é um espaço vetorial e que o conjunto

é um subespaço de . Assinale a alternativa correspondente a uma base do espaço vetorial :

1. ;
3. ;
4. ;
5. .

Considere os subespaços e de definidos por:

Assinale a alternativa correta:

a);

b)

c) se não for o polinômio nulo, então terá grau igual a 2;

d) é um subespaço de ;

e) está contido em .

Seja V um espaço vetorial de dimensão 15 e sejam e subespaços de tais que

e

Considere as seguintes afirmações:

(I)

(II) existe tal que

(III) se , então para quaisquer tais que , vale que o conjunto é linearmente dependente.

Assinale a alternativa correta:

(a) apenas a afirmação (II) é necessariamente verdadeira;

(b) apenas as afirmações (I) e (II) são necessariamente verdadeiras;

(c) apenas a afirmação (III) é necessariamente verdadeira;

(d) apenas a afirmação (I) é necessariamente verdadeira;

(e) apenas as afirmações (II) e (III) são necessariamente verdadeiras;

Sejam e subespaços do espaço vetorial .

Se sabemos que não está contido em , nem está contido em , podemos afirmar que:

é um subespaço de , mas não é um subespaço de

é um subespaço de e pode ser um subespaço de

não é um subespaço de e também não é um subespaço de

é um subespaço de e também é um subespaço de

Considere os subespaços vetoriais

Do espaço vetorial em que denota o traço da matriz A, isso é, a soma das entradas na diagonal principal de A. Então, a dimensão do subespaço vetorial é