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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 2.7 - Ex. 10

Sejam U e V subespaços vetoriais do espaço W. Provar que:

  1. U   ⊂   V   ⟹   U   +   V   =   V

  2. U   ⊂   V   ⟹   U ∩   V   =   U

  3. U + V = U   ⟹ U ⊃ V

  4. U ∩   V   =   U ⟹ U ⊂ V

Passo 1

  1. U   ⊂   V   ⟹   U   +   V   =   V

    2. Tendo como hipótese U   ⊂   V , precisamos mostrar que U   +   V   =   V . Beleza?

    Como U   +   V e V são conjuntos, provaremos a igualdade mostrando a dupla inclusão.

    Ou seja, mostraremos que

    U   +   V   ⊂   V e V   ⊂   U + V .

    Vamos relembrar como são os elementos do subespaço vetorial U   +   V . Se w é um elemento de U   +   V , então w é a soma de dois vetores u e v , com u sendo um vetor de U e v vetor sendo um vetor de V .

    Ou seja,

    U +   V   =   { w   ∈ W |   w   =   u   +   v ,   o n d e     u ∈ U   e   v ∈ V } .

    Comecemos mostrando que U   +   V   ⊂   V , show?

    Seja w ∈ U   +   V   , então w   =   u   +   v com u ∈   U e v ∈   U . Como, por hipótese, U   ⊂   V então u ∈   U   ⊂ V   ⟹   u ∈   V . Tranquilo até aqui?!

    Como V é um subespaço vetorial então a soma de dois vetores de V é, também, um vetor de V . Logo, w ∈   V .

    Ou seja, temos que U   +   V   ⊂   V .

    Vamos agora provar a outra inclusão, V   ⊂   U   +   V .

    Como U e V são subespaços vetoriais, sabemos que ambos contêm o elemento neutro da soma. Além disso, como por hipótese temos que U   ⊂   V então, pela unicidade do elemento neutro da soma temos que 0 u   =   0 v .

    Dessa forma, para todo v   ∈ V temos que

    v   =   0 v   +   v   =   0 u   +   v .

    Ou seja, temos que v   ∈   U   +   V .

    Logo, V   ⊂   U   +   V .

    Passo 2

  2. U   ⊂   V   ⟹   U ∩   V   =   U

Assim como na letra (a), provaremos que U ∩   V   =   U mostrando que vale a dupla inclusão. Antes, vale lembrar que

U ∩   V   =   { w   ∈ W |   w   ∈ U   e   w ∈ V } .

Comecemos mostrando que   U   ⊂   U ∩   V .

Seja u um elemento de U , então temos também que u ∈   V já que, por hipótese, U ⊂ V .

Para finalizar, mostraremos que U ∩   V ⊂   U . Sabemos, de teoria de conjuntos, que isso é valido para quaisquer dois conjuntos. Mas, também podemos fazer da seguinte forma: vamos supor que isso não seja verdade. Isto é, vamos supor que U ∩   V não está contida em U .

Logo, existe um w ∈   U ∩   V tal que w ∉ U . Mas isso contradiz o fato de w ∈   U ∩   V , pois por definição, temos que se w ∈   U ∩   V então w   ∈ U   e   w ∈ V .

Isso nos mostra que U ∩   V ⊂   U .

Show de bola?

Passo 2

  1. U + V = U   ⟹ U ⊃ V

Por hipótese temos que U + V = U . Como podemos melhorar essa informação para podermos utilizá-la a nosso favor??

U + V = U é a mesma coisa que U + V ⊂ U   e   U + V ⊃ U .   Showzin?

Então, como U e V são subespaços vetoriais, sabemos que ambos contém o elemento neutro da soma.

Dessa Forma,

U + V ⊂ U   ⇔ u + v ⊂ U ,   o n d e   u ∈ U   e   v ∈ V

Assim, tomando o elemento neutro u = o , temos

0 + v ⊂ U

Ou seja,

V ⊂ U

Beleza?

Passo 3

  1. U ∩   V   =   U ⟹ U ⊂ V

Por hipótese temos que U ∩ V = U . Como podemos melhorar essa informação para podermos utilizá-la a nosso favor??

U ∩ V = U é a mesma coisa que U ∩ V ⊂ U   e   U ∩ V ⊃ U .   Showzin?

Além disso, U ∩   V significa que

U ∩   V   =   { w   ∈ W |   w   ∈ U   e   w ∈ V } .

Ou seja, todo elemento w que está em U também está na interseção, ou seja, esse mesmo elemento estará em V .

Logo, U ∩   V   =   U ⟹ U ⊂ V

Beleza?

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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